[논문 리뷰] Fractal Quantum Phase Transitions: Critical Phenomena Beyond Renormalization

Zheng Zhou, Xuefeng Zhang외 2명|arXiv (Cornell University)|2021. 05. 12.

Theoretical and Computational Physics참고 문헌 37인용 수 21

한 줄 요약

이 논문은 시에르핀스키 삼각형에서 분수형 $Z_2$ 대칭을 위반하는 연속 양자 상전이를 규명하며, 이 상전이가 분수형 스케일링 차원 $d = \ln(3)/\ln(2)$ 를 갖는 임계점으로 나타남을 보여준다. 대규모 양자 몬테카를로 시뮬레이션과 새로운 장 이론을 통해, 이 전이가 분수형 대칭에 의해 유도되는 UV-IR 혼합로 인해 기존의 리노멀화 군 이론으로는 설명되지 않음을 밝혀내었으며, 이로 인해 음의 비정상 차원 $\eta = -0.19(4)$ 를 갖는 보편 임계 지수를 가지게 된다.

ABSTRACT

We identify a quantum critical point with fractal symmetry whose effective theory eludes the renormalization group framework. We consider the Newman-Moore model with three-body interaction subjected to an external transverse field, which exhibits a Kramers-Wannier type self-duality and a fractal $Z_2$ symmetry with Ising charge conserved on a fractal subset of sites, i.e., on Sierpinski gaskets. Using large-scale quantum Monte Carlo simulations, we identify a continuous quantum phase transition between a phase with spontaneous fractal symmetry breaking and a paramagnetic phase. This phase transition is characterized by the emergence of a fractal scaling dimension $d=\ln(3)/\ln(2)$ at the quantum critical point, where the power-law exponent of the correlation function is related to the fractal dimension of the Sierpinski triangle. We develop a field theory to elucidate such quantum criticality and denote the fractal scaling as a subsequence of UV-IR mixing, where the low energy modes at the critical point are manipulated by short-wavelength physics due to the fractal symmetry.

연구 동기 및 목표

• 분수형 대칭을 갖는 시스템에서의 양자 임계성의 성격을 이해하고, 기존의 리노멀화 군 이론으로는 기록되지 않는 현상들을 밝혀내는 것.
• 양자 스핀 모형에서 자발적 분수형 대칭 위반을 동반한 연속 상전이가 발생할 수 있는지 확인하는 것.
• 특히 스케일링 성질과 임계 지수를 포함한 이러한 전이의 임계 행동을 특성화하는 것.
• 임계점에서 분수형 스케일링과 UV-IR 혼합이 어떻게 나타나는지를 설명하는 장 이론을 개발하는 것.
• 분수형 대칭이 임계 현상에 미치는 영향을 전역 대칭에 기반한 전이와 구별하여 평가하는 것.

제안 방법

• 주기적 경계 조건을 갖는 횡방향 자기장이 작용하는 뉴먼-무어 모형에 대해 대규모 스토하스틱 시리즈 전개(SSE) 양자 몬테카를로 시뮬레이션을 수행한다.
• 계산체적 크기 $L = 8, 11, 13, 16, 20, 23, 26, 32$ 와 열역학적 온도의 역수 $\beta \propto L$ 를 사용하여 열역학적 극한으로의 외삽을 수행한다.
• 분수형 구조를 유지하는 수정된 클러스터 업데이트 알고리즘을 구현하여, 수용 확률 $P_{\text{acc}} = (J/\epsilon + 1)^{\Delta N}$ 을 갖는 Sierpinski 삼각형 클러스터 내에서 스핀을 뒤집는다.
• 유리성과 순서상태에서의 에르고디시티를 향상시키기 위해 종방향 자기장 $H' = -h\sum_i \sigma_i^z$ 를 포함한 안내 프로토콜을 적용한다.
• 안정성 함수 $y_L(\Gamma) = Q_L(\Gamma) L^{-\kappa/\nu} / (1 + cL^{-\omega})$ 를 사용하여 버인더 비율, 질서 매개변수, 이완도, 열용량에 대한 유한체 스케일링을 수행한다.
• 임계점이 UV-IR 혼합의 하위수열임을 규명하는 장 이론을 구축하며, 이는 분수형 대칭으로 인해 고주파수 성분이 저에너지 모드에 영향을 주기 때문이다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 스핀 모형에서 자발적 분수형 대칭 위반을 동반한 연속 양자 상전이가 발생할 수 있는가?
• RQ2 분수형 대칭의 존재가 전역 대칭을 갖는 시스템과 비교하여 임계 스케일링 행동에 어떤 영향을 미치는가?
• RQ3 분수형 양자 임계성에서 UV-IR 혼합의 역할은 무엇이며, 이로 인해 기존의 리노멀화 군 접근법이 왜 무력화되는가?
• RQ4 이 전이의 임계 지수는 보편적인가? 그리고 기존의 스케일링 관계를 만족하는가?
• RQ5 임계점에서 나타나는 분수형 스케일링을 기술할 수 있는 장 이론을 구성할 수 있는가?

주요 결과

• 횡방향 자기장이 작용하는 뉴먼-무어 모형의 양자 상전이는 연속적이며, 분수형 스케일링 차원 $d = \ln(3)/\ln(2) \approx 1.585$ 를 갖는다. 이는 시에르핀스키 삼각형의 하우스도르프 차원과 정확히 일치한다.
• 버인더 비율의 유한체 스케일링 결과 $\nu = 0.50(2)$ 를 도출하였으며, 이는 비평균론적 임계점과 일치하는 상관 길이 지수임을 시사한다.
• 질서 매개변수 스케일링 결과 $\beta/\nu = 0.448(8)$ 를 얻었으며, 이로부터 $\beta = 0.224(5)$ 를 도출하여 전이의 비평균론적 성격을 확인한다.
• 이완도 스케일링 결과 $\gamma/\nu = 2.19(4)$ 를 도출하였으며, 관계 $\gamma/\nu = 2 - \eta$ 를 통해 음의 비정상 차원 $\eta = -0.19(4)$ 를 산출하였다. 이는 비정상적인 임계성의 상징이다.
• 임계 지수는 기존의 스케일링 관계를 만족하며, 이는 비리노멀화 가능한 성격을 지닌 전이임에도 불구하고 보편성을 확인한다.
• 전이는 분수형 대칭에 의해 유도된 UV-IR 혼합으로 인해 발생하며, 저에너지 모드가 고주파수 변동에 영향을 받기 때문에 기존의 리노멀화 군 이론의 적용 범위를 초월한다.