[논문 리뷰] Fractal scaling and the aesthetics of trees

Jingyi Gao, Mitchell Newberry|arXiv (Cornell University)|2024. 02. 21.

Color perception and designPsychology인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 다비نش키의 나무 규칙과 현대 혈관 생물학을 기반으로 한 나무 미학의 분수형 스케일링 이론을 제안한다. 예술 작품에서 가지의 지름을 힘의 법칙에 따라 피팅하여 스케일링 지수(α)를 정량화한다. 16세기 무슬림 예술, 에도 시대 일본 예술, 20세기 유럽 예술은 모두 α 값이 1.5에서 2.5 사이이며, 피에트 모드리안의 추상적 나무는 현대의 스케일링 지수 α=3을 예측하여 예술적 표현과 생물학적 스케일링 원리 사이에 깊은 일치를 보인다.

ABSTRACT

Trees in works of art have stirred emotions in viewers for millennia. Leonardo da Vinci described geometric proportions in trees to provide both guidelines for painting and insights into tree form and function. Da Vinci's Rule of trees further implies fractal branching with a particular scaling exponent $α= 2$ governing both proportions between the diameters of adjoining boughs and the number of boughs of a given diameter. Contemporary biology increasingly supports an analogous rule with $α= 3$ known as Murray's Law. Here we relate trees in art to a theory of proportion inspired by both da Vinci and modern tree physiology. We measure $α$ in 16th century Islamic architecture, Edo period Japanese painting and 20th century European art, finding $α$ in the range 1.5 to 2.5. We find that both conformity and deviations from ideal branching create stylistic effect and accommodate constraints on design and implementation. Finally, we analyze an abstract tree by Piet Mondrian which forgoes explicit branching but accurately captures the modern scaling exponent $α= 3$, anticipating Murray's Law by 15 years. This perspective extends classical mathematical, biological and artistic ways to understand, recreate and appreciate the beauty of trees.

연구 동기 및 목표

• 실제 나무 생리학에서 발견되는 기초적인 분수형 스케일링 원리가 예술적 나무 표현에 반영되어 있는지 조사하는 것.
• 다양한 문화와 시대의 예술가들이 다비نش키의 규칙(α=2) 또는 머레이의 법칙(α=3)과 같은 나무 형태의 스케일링 법칙을 암묵적으로 따르거나 이를 예측하는가의 가설을 검증하는 것.
• 가지 지름 분포와 힘의 법칙 피팅을 사용하여 예술 작품 내 분수형 스케일링을 정량화하는 방법을 개발하는 것.
• 이deal 스케일링에서의 이탈이 예술적 표현과 설계 제약 조건에 어떤 역할을 하는지 평가하는 것.
• 모드리안의 나무와 같이 추상적 또는 스타일리시한 나무 표현이 명시적인 가지를 포함하지 않더라도 생물학적으로 정확한 스케일링 지수를 여전히 담고 있는지 탐구하는 것.

제안 방법

• 인크스케이프에서 SVG 벡터 그래픽을 사용해 16세기 무슬림 예술, 에도 시대 일본 예술, 20세기 유럽 예술 작품의 가지 지름을 수작업으로 표기하는 것.
• 굽은 선이나 잎의 왜곡을 피하기 위해 가지 분기점의 하流 방향으로 수직선을 그어 가지 지름을 측정하는 것.
• SVG 경로 요소에서 자바스크립트를 사용해 가지 길이와 지름 데이터를 추출하는 것. 이는 파이어폭스 웹 개발자 콘솔에서 수행된다.
• λ=2로 설정된 최대우도 힘의 법칙 피팅 방법을 적용하여 스케일링 지수 α를 추정하고, 노이즈가 많거나 신뢰할 수 없는 소규모 측정치를 제외하기 위해 임계값(xm)을 설정하는 것.
• 시각적 및 통계적 점검을 통해 임계값 선택을 검증하여, 힘의 법칙 모델이 가장 크고 신뢰할 수 있는 측정치를 포함하도록 보장하는 것.
• 세 명의 평가자가 독립적으로 점수를 매기며, 모드리안의 그림에 대해 블라인드된 세 번째 평가자를 포함하여 상호 평가자 간 일致성과 주관성을 평가하는 것.

Figure 1: Trees in artwork—whether realistic or highly stylized—exhibit characteristic ratios between the sizes of branches that are both aesthetic and representational. Left: carved stone window screen of Sidi Saiyyed Mosque, Ahmedabad, Gujarat, India (1573 CE). Center: Cherry Blossoms , Matsumura

실험 결과

연구 질문

• RQ1 다양한 문화와 역사적 시대의 예술적 나무 표현이 생물학적 원리에 부합하는 분수형 스케일링을 보여주는가?
• RQ2 이deal 스케일링(예: α=2 또는 α=3)에서의 이탈이 어느 정도 예술적 제약 조건이나 스타일 선택의 결과인가?
• RQ3 모드리안의 작품처럼 추상적이거나 스타일리시한 나무 표현도 명시적인 가지가 없더라도 생물학적으로 정확한 스케일링 지수를 여전히 담고 있는가?
• RQ4 임계값(xm)의 선택이 예술적 가지 지름 데이터의 스케일링 지수 추정에 어떤 영향을 미치는가?
• RQ5 시각적 및 측정 주관성이 예술 작품 내 분수형 스케일링 추정에 어느 정도 영향을 미치는가?

주요 결과

• 16세기 무슬림 건축물인 시디 사이예드 모스크의 스케일링 지수 α는 1.5에서 2.5 사이로, 생물학적 원리와 일치하는 분수형 스케일링을 나타낸다.
• 에도 시대 일본 풍경화(예: 18세기 무라무라 고시누의 벚꽃 그림)는 동일한 범위 내의 α 값을 보이며, 이는 예술가들이 분수형 스케일링을 따르고 있음을 시사한다.
• 구스타프 클리멘트의 'L’Arbre de Vie'는 분수형 가지 분포와 일치하는 α 값을 보이며, 미학적이고 생리학적 스케일링을 모두 반영한다.
• 피에트 모드리안의 추상적 나무는 명시적인 가지가 없음에도 불구하고 현대 생물학적 스케일링 지수 α=3을 정확히 반영하여 머레이의 법칙을 15년 전에 예측했다.
• 이 연구의 힘의 법칙 피팅 방법(λ=2, 경험적으로 선택된 임계값 xm)은 다양한 예술 스타일의 가지 지름 분포를 성공적으로 모델링했다.
• 시각적 및 통계적 검증을 통해 선택된 임계값이 자기유사성이 없는 노이즈 있는 데이터(예: 껍질, 잎, 그림자)를 제외하여 모델 신뢰도를 향상시켰다.

Figure 2: (a) da Vinci’s sketch of a tree (from Institut de France Manuscript M, p. 78v) shows that combined thickness is preserved at different stages of ramification. Sketch (b) shows that if $A$ and $B$ have the same combined thickness, $a$ and $b$ must have the same thickness as $c$ . This impli