[논문 리뷰] Fractional calculus and continuous-time finance

Enrico Scalas, Rudolf Gorenflo외 1명|Fainansu|2000. 01. 10.

Complex Systems and Time Series Analysis인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 비마르코프성과 국소적이지 않은 가격 이동을 고려한 분수적 미적분 기반 연속시간 랜덤워크(CTRW) 모델을 제안한다. 척도 가정 하에 분수적 확산 방정식을 유도함으로써 수익률 분포가 일반화된 레비-스테이블 형태를 따르며, 솔루션은 미타그레플러 함수와 멱법칙에 따르는 대기 시간을 따르는 것으로 나타나, 실제 시장 데이터를 모델링하기 위한 무한 분산 레비 비행보다 다루기 쉬운 대안을 제공한다.

ABSTRACT

In this paper we present a rather general phenomenological theory of tick-by-tick dynamics in financial markets. Many well-known aspects, such as the Lévy scaling form, follow as particular cases of the theory. The theory fully takes into account the non-Markovian and non-local character of financial time series. Predictions on the long-time behaviour of the waiting-time probability density are presented. Finally, a general scaling form is given, based on the solution of the fractional diffusion equation.

연구 동기 및 목표

• 비마르코프성과 국소적이지 않은 특성을 반영하는 틱-바이-틱 재무 동역학을 위한 현상학적 모델을 개발하기 위해.
• 주류 금융에서 무한 분산 레비 비행의 한계를 극복하기 위해 분수적 미적분 프레임워크를 도입하기 위해.
• 분수적 확산 방정식을 사용하여 수익률 분포의 일반화된 척도 형태를 도출하기 위해.
• 금융 시계열에서 대기 시간 밀도 함수의 장기적 행동을 예측하기 위해.
• 절단된 레비 비행과 분수 도함수를 사용하여 안정 레비 과정의 수학적으로 다루기 쉬운 대안을 제공하기 위해.

제안 방법

• 랜덤 점프 크기와 랜덤 대기 시간을 갖는 연속시간 랜덤워크(CTRW)로 가격 로그를 모델링하기 위해.
• 푸리에-라플라스 변환을 사용하여 가격 분포의 특성 함수를 유도하고, 이로부터 마스터 방정식을 도출하기 위해.
• 점프 및 대기 시간 확률 밀도 함수에 척도 가정을 적용하여 분수적 확산 방정식을 도출하기 위해.
• 카푸토 분수 도함수와 미타그레플러 함수를 사용하여 분수적 확산 방정식을 해결하기 위해.
• 해결형 척도 해 $ p(x,t) = t^{-\beta/\alpha} W_{\alpha,\beta}(x / t^{\beta/\alpha}) $ 를 도출하기 위해, 여기서 $ W_{\alpha,\beta} $ 는 일반화된 레비 함수이다.
• 멱법칙 대기 시간 행동 $ \psi(\tau) \sim \tau^{-\mu} $ 가 $ \mu = \beta + 1 \in (1,2) $ 를 만족함으로써 모델에서 유도됨을 입증하기 위해.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 무거운 尾를 지닌 점프와 멱법칙 대기 시간을 갖는 CTRW 프레임워크가 고주파 재무 데이터를 정확하게 기술할 수 있는가?
• RQ2 금융 시장에서 CTRW의 수소역학적 극한으로서 분수적 확산 방정식은 어떻게 유도되는가?
• RQ3 분수적 미적분에 의해 지배되는 비마르코프성 및 국소적이지 않은 동역학 하에서 수익률 분포에 어떤 척도 형태가 도출되는가?
• RQ4 이 맥락에서 미타그레플러 함수는 레비 안정 분포를 어떻게 일반화하는가?
• RQ5 모델은 대기 시간 밀도의 장기적 행동에 대해 어떤 실증적 예측을 하는가?

주요 결과

• 분수적 확산 방정식의 해는 일반화된 척도 형태 $ p(x,t) = t^{-\beta/\alpha} W_{\alpha,\beta}(x / t^{\beta/\alpha}) $ 를 제공하며, 여기서 $ W_{\alpha,\beta} $ 는 미타그레플러 함수의 푸리에 적분을 통해 정의된다.
• $ \beta \to 1 $ 일 때, 해는 대칭 $ \alpha $-안정 레비 분포로 축소되며, 마날브로트의 실증적 발견인 $ \alpha = 1.7 $ 를 복원한다.
• 모델은 멱법칙 대기 시간 분포 $ \psi(\tau) \sim \tau^{-\mu} $ 를 예측하며, 여기서 $ \mu = \beta + 1 \in (1,2) $ 이며, 장기적 상관관계와 일치하는 실증적 관측과 일치한다.
• 카푸토 연산자를 사용한 분수 도함수 형식은 초기값 문제의 잘 정의됨을 보장하며 물리적 초기 조건을 허용한다.
• 척도 극한을 통한 절단 효과를 통합함으로써, 무한 분산 레비 비행에 대한 수학적으로 일관되고 실증적으로 타당한 대안을 제공한다.
• 고주파 데이터를 통한 $ W_{\alpha,\beta}(u) $ 의 척도 형태에 대한 실증적 검증이 예상되며, 특히 $ \psi(\tau) \sim \tau^{-\mu} $ 가 성립하는 영역에서 기대된다.