[논문 리뷰] Fractional differential and fractional integral modified-Bloch equations for PFG anomalous diffusion and their general solutions

Guoxing Lin|arXiv (Cornell University)|2017. 02. 23.

Fractional Differential Equations Solutions인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 NMR 및 MRI에서 퉁소자기장기울기(PFG) 비정상 확산을 모델링하기 위해 미분형(분수미분 기반) 및 적분형(분수적 미분 기반)의 두 가지 새로운 수정 블로흐 방정식을 제안한다. 유한한 기울기 펄스 폭과 리라크세이션 효과를 포함한 일반해를 유도하였으며, CTRW 시뮬레이션과 이전 문헌 결과와 뛰어난 일치를 보이며, 복잡한 매질에서의 분수적 확산을 위한 통합적이고 물리적으로 일관된 프레임워크를 제공한다.

ABSTRACT

The studying of anomalous diffusion by pulsed field gradient (PFG) diffusion technique still faces challenges. Two different research groups have proposed modified Bloch equation for anomalous diffusion. However, these equations have different forms and, therefore, yield inconsistent results. The discrepancy in these reported modified Bloch equations may arise from different ways of combining the fractional diffusion equation with the precession equation where the time derivatives have different derivative orders and forms. Moreover, to the best of my knowledge, the general PFG signal attenuation expression including finite gradient pulse width (FGPW) effect for time-space fractional diffusion based on the fractional derivative has yet to be reported by other methods. Here, based on different combination strategy, two new modified Bloch equations are proposed, which belong to two significantly different types: a differential type based on the fractal derivative and an integral type based on the fractional derivative. The merit of the integral type modified Bloch equation is that the original properties of the contributions from linear or nonlinear processes remain unchanged at the instant of the combination. The general solutions including the FGPW effect were derived from these two equations as well as from two other methods: a method observing the signal intensity at the origin and the recently reported effective phase shift diffusion equation method. The relaxation effect was also considered. It is found that the relaxation behavior influenced by fractional diffusion based on the fractional derivative deviates from that of normal diffusion. The general solution agrees perfectly with continuous-time random walk (CTRW) simulations as well as reported literature results. The new modified Bloch equations is a valuable tool to describe PFG anomalous diffusion in NMR and MRI.

연구 동기 및 목표

• PFG NMR 및 MRI에서 비정상 확산에 대한 기존 수정 블로흐 방정식의 모순을 해결하기 위해.
• 다른 유형의 미분을 사용하여 분수적 확산과 블로흐 역학을 결합한 물리적으로 일관된 프레임워크를 개발하기 위해.
• 유한한 기울기 펄스 폭과 리라크세이션 효과를 포함한 PFG 신호 감쇠에 대한 일반해를 유도하기 위해.
• 연속시간 랜덤워크(CTRW) 시뮬레이션과 확립된 문헌 결과와의 비교를 통해 신규 방정식을 검증하기 위해.
• 확산 및 회전 운동의 조합 과정에서 선형 또는 비선형 과정의 원래 물리적 성질을 유지하기 위해.

제안 방법

• 분수적 미분 기반의 분수형 미분형 수정 블로흐 방정식을 제안하여 시간-공간 분수적 확산을 모델링한다.
• 분수적 미분 기반의 적분형 수정 블로흐 방정식을 개발하여 원래 과정의 내재된 성질을 유지한다.
• 두 새로운 방정식을 사용하여 유한한 기울기 펄스 폭(FGPW) 효과를 포함한 PFG 신호 감쇠에 대한 일반해를 도출한다.
• 해의 교차검증을 위해 추가로 신호 강도 원점 및 효과적 위상 이동 확산 방정식 방법을 적용한다.
• 일반해에 리라크세이션 효과를 통합하여 실제 NMR/MRI 조건을 모델링한다.
• 결과를 CTRW 시뮬레이션과 출판된 실험 데이터와 비교하여 일관성과 정확성을 확인한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 기존 형태의 수정 블로흐 방정식이 상충되는 결과를 낳는 상황에서, PFG NMR에서 비정상 확산에 대한 일관된 수정 블로흐 방정식을 어떻게 구성할 수 있는가?
• RQ2 분수적 수정 블로흐 방정식의 미분형과 적분형 간의 물리적 해석과 수학적 구조적 차이는 무엇인가?
• RQ3 유한한 기울기 펄스 폭과 리라크세이션 효과는 분수적 확산 과정에서 신호 감쇠에 어떻게 영향을 미치는가?
• RQ4 신규 방정식은 연속시간 랜덤워크(CTRW) 시뮬레이션 결과와 기존 문헌 결과를 재현할 수 있는가?
• RQ5 분수적 미분 기반 모델은 방정식 조합 과정에서 선형 또는 비선형 과정의 원래 물리적 행동을 유지하는가?

주요 결과

• 적분형 수정 블로흐 방정식은 조합 시점에서 선형 또는 비선형 과정의 원래 물리적 성질을 유지하지만, 미분형은 그렇지 않다.
• 적분형 방정식에서 도출된 일반해는 다양한 확산 영역에서 연속시간 랜덤워크(CTRW) 시뮬레이션과 완벽하게 일치한다.
• 분수적 미분 기반의 분수적 확산에서의 리라크세이션 거동은 정상 확산과 현저하게 다름을 보이며, 비지수적 리라크세이션 동역학을 나타낸다.
• 신규 방정식은 시간-공간 분수적 확산에 대한 신호 감쇠 모델에 성공적으로 유한한 기울기 펄스 폭(FGPW) 효과를 통합하였다.
• 신규 방정식, 신호 강도 원점, 효과적 위상 이동 확산 방정식 등 모든 해법이 일관된 결과를 도출하여 강건성과 타당성을 확인하였다.
• 제안된 프레임워크는 NMR 및 MRI 적용 분야에서 PFG 비정상 확산을 모델링하기 위한 통합적이고 물리적으로 일관된 도구를 제공한다.