[논문 리뷰] Fractional differential equations: alpha-entire solutions, regular and irregular singularities

Anatoly N. Kochubei|ArXiv.org|2008. 06. 11.

Meromorphic and Entire Functions참고 문헌 21인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 $\alpha \in (0,1)$인 분수계 미분방정식을 리만-리오빌 및 카푸토-즈르바시안 도함수를 사용하여 연구하며, $\alpha$-전체 해의 성장 차수에 대한 날카운 경계를 확립하고 정칙 특이점을 갖는 시스템에 대한 프로베니우스 유사 방법을 개발한다. 또한 비정칙 특이점을 갖는 모형 방정식을 분석하여, $\alpha$가 유리수로 잘 근사되지 않을 경우 형식 해가 $t > 0$에서 점별 수렴함을 증명하고, 분포 의미에서 발산함을 보이며 고전적 상미분방정식 이론과의 근본적 차이를 드러낸다.

ABSTRACT

We consider fractional differential equations of order $α\in (0,1)$ for functions of one independent variable $t\in (0,\infty)$ with the Riemann-Liouville and Caputo-Dzhrbashyan fractional derivatives. A precise estimate for the order of growth of $α$-entire solutions is given. An analog of the Frobenius method for systems with regular singularity is developed. For a model example of an equation with a kind of an irregular singularity, a series for a formal solution is shown to be convergent for $t>0$ (if $α$ is an irrational number poorly approximated by rational ones) but divergent in the distribution sense.

연구 동기 및 목표

• 분수계 미분방정식의 해 $u(t) = U(t^\alpha)$에 대응하는 전체 함수 $U(z)$의 성장 차수에 대한 정밀한 추정을 확립하기 위해, $\alpha \in (0,1)$인 분수계 미분방정식의 $\alpha$-전체 해의 성장 차수에 대한 날카운 경계를 설정한다.
• 정칙 특이점을 갖는 분수계 미분방정식 시스템에 대한 프로베니우스 방법의 유사체계를 개발한다.
• 비정칙 특이점을 갖는 모형 방정식의 형식 해의 수렴성과 분포적 성질을 조사한다.
• $\alpha$가 무리수이면서 디오판틴 조건을 만족할 경우 해의 해석적 및 분포적 성질를 명확히 한다.

제안 방법

• 카푸토-즈르바시안 방정식 $\mathbb{D}^{(\alpha)}u(t) = A(t^\alpha)u(t)$를 만족하는 $u(t) = U(t^\alpha)$인 해에 대해, 전체 함수 $U(z)$의 성장 차수에 대한 상한을 유도하며, 이 차수가 $(1 + \deg A)/\alpha$ 이하임을 보인다.
• 형식 멱급수 방법을 $t^\alpha \mathbb{D}^{(\alpha)}u(t) = A(t^\alpha)u(t)$ 형태의 시스템에 적용하여, $A(z)$에 대한 적절한 조건 하에서 급수의 수렴성을 증명한다.
• 반복 관계를 통해 모형 방정식 $t^{2\alpha} \mathbb{D}^{(\alpha)}u(t) = \lambda u(t)$의 형식 해를 구한다. 이는 감마 함수를 포함한 관계식 $c_n = \lambda^n \frac{\Gamma(1 - (n+1)\alpha)}{\Gamma(1 - \alpha)} c_0$ 로 표현된다.
• 恒등식 $\Gamma(z)\Gamma(1-z) = \pi / \sin(\pi z)$를 사용하여 형식 해를 역삼각함수와 감마 함수의 형태로 재기록한다.
• 트라우-지겔-로트 정리를 적용하여 $\alpha$가 유리수로 잘 근사되지 않는다고 가정하며, 이로 인해 어떤 $c, \varepsilon > 0$에 대해 $|\sin(\pi(n+1)\alpha)| \geq c(n+1)^{-1-\varepsilon}$ 임을 보장한다.
• 분포 수렴성을 쌍대성 쌍대성(pairing)을 통해 분석하며, $\varkappa_\alpha(t)$와의 쌍대성 쌍을 통해 계수의 초초기수적 성장을 보여주어, 급수의 $\left(\Phi_{+}^{1-\alpha}\right)'$ 내에서 발산함을 밝힌다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 다항계수를 갖는 분수계 미분방정식의 $\alpha$-전체 해에 대해 가능한 최대 성장 차수는 무엇인가?
• RQ2 정칙 특이점을 갖는 분수계 미분방정식에 대해 프로베니우스 유사 방법을 적용할 수 있는가?
• RQ3 형식 해 $t^{2\alpha} \mathbb{D}^{(\alpha)}u(t) = \lambda u(t)$가 점별 수렴하기 위한 $\alpha$의 산술적 조건은 무엇인가?
• RQ4 비록 점별 수렴이 이루어지지만, 비정칙 특이점 모형 방정식의 형식 해가 왜 분포 의미에서 발산하는가?
• RQ5 고전적 상미분방정식과 비교했을 때, 비정칙 특이점을 갖는 분수계 미분방정식의 해의 해석적 성질는 어떻게 다를까?

주요 결과

• 방정식 $\mathbb{D}^{(\alpha)}u(t) = A(t^\alpha)u(t)$를 만족하는 해 $u(t) = U(t^\alpha)$에 대응하는 전체 함수 $U(z)$의 성장 차수는 $(1 + \deg A)/\alpha$ 이하이며, $A(z) = \lambda$일 경우 (미타그레플레르 경우) 등호가 성립한다.
• 만일 $A(z)$가 어떤 원판 내에서 해석적이라면, 방정식 $t^\alpha \mathbb{D}^{(\alpha)}u(t) = A(t^\alpha)u(t)$의 형식 멱급수 해는 표준 해석성 조건 하에서 $t = 0$ 근처에서 수렴한다.
• 만일 $\alpha$가 유리수로 잘 근사되지 않는다면 (예: 대수적 무리수), 형식 해 $u(t) = \sum_{n=0}^\infty \Gamma(1 - (n+1)\alpha) t^{-n\alpha}$ 는 모든 $t > 0$ 에서 수렴한다.
• 점별 수렴은 이루어지지만, 쌍대성 쌍에서 계수의 노름이 초초기수적으로 증가함을 보여주어, 급수는 공간 $\left(\Phi_{+}^{1-\alpha}\right)'$ 내에서 발산한다.
• 발산의 원인은 $|\sin(\pi(n+1)\alpha)^{-1}|$ 과 $\Gamma((n+1)\alpha)^{-1}$ 의 곱으로, 이는 어떤 지수함수보다도 더 빠르게 증가하여 분포 노름이 유계적이지 않음을 유도한다.
• 해는 하디의 비정상적 행동을 보이는 함수의 클래스와 연결되며, 정수계 미분방정식에서는 나타나지 않는 분수계 미분학 내부의 본질적 특이성을 시사한다.