[논문 리뷰] Fractional differential inclusions with a new class of set-valued contractions

Hüseyin Işık|arXiv (Cornell University)|2018. 07. 12.

Fixed Point Theorems Analysis참고 문헌 16인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 보조 함수를 도입함으로써 보조 함수 $\theta$ 에 대한 조건을 약화시켜 기존의 $\theta$-수축를 일반화하는 새로운 집합값 함수 수축의 클래스를 제안한다. 완비 거리공간 내의 다중값 사상에 대해 새로운 고정점 정리를 수립하고, 이를 비국소 Caputo 유형 분수계 미분 포함 문제에 적용하여 적분 경계 조건을 만족하는 해의 존재성을 증명한다.

ABSTRACT

The aim of this study to investigate the existence of solutions for the following nonlocal integral boundary value problem of Caputo type fractional differential inclusions. To achieve our goals, we take advantage of fixed point theorems for multivalued mappings satisfying a new class of contractive conditions in the setting of complete metric spaces. We derive new fixed point results which extend and improve many results in the literature by means of this new class of contractions. We also supply some examples to support the new theory.

연구 동기 및 목표

• 보조 함수 $\theta$ 에 대한 조건을 약화시키고 보조 함수를 도입함으로써 기존의 $\theta$-수축 프레임워크를 일반화하는 새로운 다중값 수축의 클래스를 개발하는 것.
• 기존 문헌에서의 결과를 확장하는 바탕으로, 완비 거리공간 내의 다중값 사상에 대해 새로운 수축 조건 하에서 고정점 정리를 수립하는 것.
• 새로운 고정점 이론을 비국소 Caputo 유형 분수계 미분 포함 문제에 적용하여 적분 경계 조건을 만족하는 해의 존재성을 증명하는 것.
• 구체적인 예와 기존 결과와의 비교를 통해 새로운 수축 프레임워크의 일반성과 적용 가능성의 정도를 보여주는 것.
• 개발된 고정점 이론을 활용하여 비국소 적분 경계 조건을 갖는 분수계 미분 포함 문제에 대해 해의 존재성을 보장하는 충분조건을 제시하는 것.

제안 방법

• 보조 함수 $\theta$ 에 대한 조건을 약화시키고 보조 함수를 도입함으로써 다중값 사상에 대한 새로운 수축 프레임워크를 제안한다.
• 완비 거리공간의 공집합이 아닌, 닫힌, 유계인 부분집합들의 공간에 대해 일반화된 Pompeiu-Hausdorff 거리 $H$ 를 정의하여 집합 간의 거리를 측정한다.
• 새로운 수축 조건을 만족하는 다중값 사상에 대해 고정점 정리를 수립하고, 새로운 수축 조건 하에서 고정점의 존재성을 증명한다.
• 분수계 미분 포함 문제와 관련된 해의 연산자 $\Lambda_F$ 에 고정점 정리를 적용하여 $\Lambda_F$ 가 $\vartheta_\rho$-수축임을 보인다.
• $\vartheta(t) = e^{\sqrt{t}}$ 의 성질과 수축 조건 $\vartheta(H(\Lambda_F(x), \Lambda_F(\tilde{x}))) \leq [\vartheta(\rho(\|x-\tilde{x}\|, \dots))]^k$ ($k \in (0,1)$) 를 이용하여 수축 조건을 검증한다.
• 다중값 함수 $F$ 와 함수 $g_k$ 의 노름을 이용하여 Hausdorff 거리 $H(\Lambda_F(x), \Lambda_F(\tilde{x}))$ 의 상한을 구함으로써 수축 조건을 검증하고, $H(\Lambda_F(x), \Lambda_F(\tilde{x})) \leq e^{-\tau}\|x - \tilde{x}\|$ ($\tau > 0$) 를 도출한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 다중값 사상에 대한 고정점 존재성을 유지하면서도 $\theta$-수축에서 함수 $\theta$ 에 대한 조건을 약화시킬 수 있는가?
• RQ2 새로운 수축 클래스가 완비 거리공간 내의 기존 다중값 사상에 대한 고정점 정리를 일반화하는 데 사용될 수 있는가?
• RQ3 새로운 수축 프레임워크는 비국소 적분 경계 조건을 갖는 분수계 미분 포함 문제에서 해의 존재성을 보장할 수 있는가?
• RQ4 Banach, Nadler, Jleli와 Samet, Vetro의 기존 결과들과 비교할 때 새로운 수축 조건은 일반성과 적용 가능성 측면에서 어떻게 다른가?
• RQ5 새로운 고정점 이론은 복잡한 경계 조건을 갖는 비선형 분수계 미분 포함 문제에 대해 존재성 결과를 효과적으로 증명하는 데 응용될 수 있는가?

주요 결과

• 논문은 보조 함수를 도입하고 $\theta$ 에 대한 조건을 약화시킴으로써 기존의 $\theta$-수축 결과를 일반화하는 새로운 다중값 수축의 클래스를 수립한다.
• 완비 거리공간 내의 다중값 사상에 대해 새로운 수축 조건 하에서 고정점 정리를 증명하였으며, Banach, Nadler, Jleli와 Samet, Vetro의 결과를 확장한다.
• 분수계 미분 포함 문제의 해 연산자 $\Lambda_F$ 는 $\vartheta_\rho$-수축임을 보였으며, $\vartheta(H(\Lambda_F(x), \Lambda_F(\tilde{x}))) \leq [\vartheta(\rho(\|x-\tilde{x}\|, \dots))]^k$ ($k = \sqrt{e^{-\tau}} \in (0,1)$) 를 만족한다.
• 예시 문제에서 $\beta = 6.7$, $T=1$, $\alpha=0.5$ 일 때, $\gamma_1 \approx 2.07$, $\gamma_2 \approx 0.5727$, $\|m\| \approx 0.125$ 를 얻고, $\gamma_1\|m\| + \gamma_2 \approx 0.83145 \leq e^{-\tau}$ ($\tau \in (0, \frac{1}{6}]$) 를 만족하여 수축 조건이 성립함을 확인한다.
• 고정점 정리에 의해 비국소 분수계 미분 포함 문제의 해 존재성이 보장되며, 이는 해 연산자 $\Lambda_F$ 가 완비 거리공간 내에 고정점을 갖기 때문이다.
• 이론적 프레임워크는 일반적인 예와 구체적인 예 두 가지로 뒷받침되며, 이 중 수축 조건이 수치적으로 검증되어 새로운 결과의 적용 가능성과 강도를 보여준다.