[논문 리뷰] Fractional Dynamical Systems on Fractional Leibniz Algebroids

Gheorghe Ivan, Mihai Ivan외 1명|ArXiv.org|2007. 09. 15.

Fractional Differential Equations Solutions참고 문헌 8인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 리만-리오빌 도수 미분을 통해 탄성 복소수를 일반화하여 분수 차수의 리프니츠 대수에 대한 분수 동역계를 도입한다. 분수 리프니츠 대수의 구조를 정의하고, 분수 앵커와 구조 함수를 사용하여 분수 해밀턴 시스템을 유도한다. 주요 기여는 $(\alpha,\beta)$-분수 동역계의 새로운 클래스로, 미타그-레플레르 및 감마 함수를 포함하는 행렬 방정식을 포함한 분수 마크스웰-블로흐 시스템을 통해 구체적으로 제시된다.

ABSTRACT

The theory of derivative of noninteger order goes back to Leibniz, Liouville and Riemann. Derivatives of fractional order have found many applications in recent studies in mechanics, physics, economics. In this paper we define the fractional tangent bundle on a manifold, using a method of Radu Miron. The fractional Leibniz algebroids are investigated. The associated objects have an geometric character. Some fractional dynamical systems on a fractional Leibniz algebroid are disscussed.

연구 동기 및 목표

• 리만-리오빌 분수 도수 미분을 사용하여 고전적 탄성 복소수 구조를 분수 차수로 일반화한다.
• 리프니츠 대수의 개념을 분수 미적분학으로 확장하여 미분 가능 다양체 위에 분수 리프니츠 대수의 구조를 정의한다.
• 분수 앵커와 해밀턴 함수를 사용하여 이러한 대수 위에서 분수 동역계를 구성한다.
• 분수 도수 미분 방정식을 명시적으로 유도하며, 예를 들어 프리-라이 대수 및 대칭 대수와 같은 특수한 경우를 포함한다.
• 감마 함수와 미타그-레플레르 함수를 포함하는 행렬 형태의 방정식을 사용한 분수 마크스웰-블로흐 시스템의 구체적 예를 제시한다.

제안 방법

• 리만-리오빌 도수를 사용하여 분수 접촉의 순서 $\alpha$에 기반한 분수 탄성 복소수 $T^\alpha(M)$를 정의하며, 국소 좌표는 $(x^i, y^{i(\alpha)}) = (x^i(0), \frac{1}{\Gamma(1+\alpha)} D_t^\alpha x^i(t)|_{t=0})$이다.
• 분수 외부 도수 $d^\alpha f = d(x^i)^\alpha D_{x^i}^\alpha f$를 도입하며, 분수 자코비안 행렬 $\overset{\alpha}{J}_j^i$를 포함한 변환 규칙을 수반한다.
• 분수 앵커 사상 $\overset{\alpha}{\rho}_1, \overset{\alpha}{\rho}_2$, 이중선형 브라켓 $[\cdot, \cdot]_\alpha$, 그리고 구조 함수 $C_{ab}^d$를 통해 분수 리프니츠 대수의 구조를 정의한다.
• 해밀턴 함수 $h$와 분수 도수 $D_t^\alpha, D_t^\beta$를 사용하여 분수 동역계를 구성하며, 방정식은 $D_t^\beta \xi_a = C_{ab}^d \xi_d D_{\xi_a}^\beta h + \overset{\alpha}{\rho}_{1a}^i D_{x^i}^\alpha h$ 및 $D_t^\alpha x^i = \pm \overset{\alpha}{\rho}_{1a}^i D_{\xi_a}^\beta h$이다.
• 특정 예시에서 $3 \times 3$ 반대칭 텐서 $P^\beta$, 분수 앵커, 해밀턴 함수 $h = (x^2)^\alpha (\xi_2)^\beta + (x^3)^\alpha (\xi_3)^\beta$를 사용하여 시스템을 행렬 형태로 유도하며, 감마 함수 항등식을 적용한다.
• 도수 미분 계산을 위해 다음 성질를 사용한다: $D_{\xi_a}^\beta (\xi_b)^\gamma = \delta_b^a \xi_a^{\gamma - \beta} \frac{\Gamma(1+\gamma)}{\Gamma(1+\gamma - \beta)}$ 및 $D_{x^i}^\alpha (x^j)^\gamma = \delta_i^j (x^i)^{\gamma - \alpha} \frac{\Gamma(1+\gamma)}{\Gamma(1+\gamma - \alpha)}$.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 리만-리오빌 도수 도수를 사용하여 고전적 탄성 복소수 구조를 어떻게 분수 차수로 일반화할 수 있는가?
• RQ2 분수 리프니츠 대수의 구조는 무엇이며, 고전적 리프니츠 대수의 개념을 어떻게 분수 미적분학으로 확장하는가?
• RQ3 이러한 대수 위에서의 분수 동역계는 어떻게 행동하며, 해밀턴 진화의 지배 방정식은 무엇인가?
• RQ4 $\alpha \to 1$ 또는 $\beta \to 1$일 때의 극한 경우는 무엇이며, 고전적 동역계와 어떻게 관련되는가?
• RQ5 이 틀의 특수한 경우로 분수 마크스웰-블로흐 시스템을 도출할 수 있으며, 그 행렬 형태는 무엇인가?

주요 결과

• 분수 리프니츠 대수 위에서의 분수 동역계는 해밀턴 함수 $h$와 구조 함수 $C_{ab}^d$를 포함한 $D_t^\alpha$ 및 $D_t^\beta$의 쌍으로 연결된 분수 미분 방정식으로 지배된다.
• 프리-라이 경우($C_{ab}^d = -C_{ba}^d$)에서는 시스템이 $D_t^\beta \xi_a = C_{ab}^d \xi_d D_{\xi_a}^\beta h + \overset{\alpha}{\rho}_{1a}^i D_{x^i}^\alpha h$ 및 $D_t^\alpha x^i = -\overset{\alpha}{\rho}_{1a}^i D_{\xi_a}^\beta h$ 형태를 가진다.
• 대칭 경우($C_{ab}^d = C_{ba}^d$)에서는 시스템이 $D_t^\beta \xi_a = C_{ab}^d \xi_d D_{\xi_a}^\beta h + \overset{\alpha}{\rho}_{1a}^i D_{x^i}^\alpha h$ 및 $D_t^\alpha x^i = \overset{\alpha}{\rho}_{1a}^i D_{\xi_a}^\beta h$ 형태를 가진다.
• 예시에서 분수 마크스웰-블로흐 시스템은 명시적인 행렬 방정식으로 도출되며, $D_t^\beta \xi_1 = \Gamma(1+\beta)(-\xi_3 (x^2)^\alpha x^3 + \xi_2 x^2 (x^3)^\alpha) + \Gamma(1+\alpha)(-x^3 (\xi_2)^\beta + x^2 (\xi_3)^\beta)$와 유사한 표현식이 다른 성분에 대해서도 존재한다.
• 모든 $\alpha, \beta \to 1$ 극한에서 고전적 동역학으로 수렴하며, 표준 해밀턴 흐름을 복원한다.
• 도수 미분 항등식에서 감마 함수와 미타그-레플레르 함수의 사용은 시스템의 분수 성격을 확인하고, 동역계 방정식의 명시적 계산을 가능하게 한다.