[논문 리뷰] Fractional eigenvalues in Orlicz spaces with no $\Delta_2$ condition

Ariel Salort, Hernán Vivas|arXiv (Cornell University)|2020. 05. 04.

Nonlinear Partial Differential Equations참고 문헌 20인용 수 6

한 줄 요약

이 논문은 젊은 함수 $G$ 또는 그 쌍대 함수에 대해 $\Delta_2$ 조건을 가정하지 않고 오르리츠-소볼레프 공간에서 $g$-라플라시안을 포함하는 분수 차수 고유값 문제에 비자명한 해의 존재를 확립한다. 제약 조건을 갖는 최소화 문제를 해결하고 일반화된 라그랑주 승수 정리 적용을 통해 고유값의 존재, 스펙트럼의 닫힘 성질, 얇은 영역에서의 일관된 하한 및 대칭 기반 단조성 등의 성질을 도출한다.

ABSTRACT

We study the eigenvalue problem for the $g-$Laplacian operator in fractional order Orlicz-Sobolev spaces, where $g=G'$ and neither $G$ nor its conjugated function satisfy the $\\Delta_2$ condition. Our main result is the existence of a nontrivial solution to such a problem; this is achieved by first showing that the corresponding minimization problem has a solution and then applying a generalized Lagrange multiplier theorem to get the existence of an eigenvalue. Further, we prove closedness of the spectrum and some properties of the eigenvalues and, as an application, we show existence for a class of nonlinear eigenvalue problems.

연구 동기 및 목표

• 오르리츠-소볼레프 공간에서 분수 차수 $g$-라플라시안 고유값 문제에 비자명한 해의 존재를 확립한다.
• $\Delta_2$ 조건이 없을 경우 반사성과 미분 가능성의 부재로 인해 표준 변분 방법이 복잡해지는 문제를 다룬다.
• 비균질적이고 비이중적인 오르리츠 설정으로 비선형 고유값 문제 이론을 분수 차수 연산자로 확장한다.
• 스펙트럼의 닫힘 성질 및 얇은 영역에서 고유값에 대한 일관된 하한과 같은 스펙트럼 성질을 증명한다.
• 퍼티urbation 및 은밀한 함수 정리 기법을 통해 비선형 고유값 문제 계열의 해 존재성을 보여준다.

제안 방법

• 에너지 함수 $\mathcal{F}(u) = \iint G(|D_s u|) \, d\mu$ 의 제약 조건 $\mathcal{J}(u) = \alpha$ 하에서의 제약 최소화 문제로 고유값 문제를 설정한다.
• 약한 하향 연속성과 $L^G$ 수렴에 대한 안정성에 의해 $W^s_0 L^G(\Omega)$ 에서 제약 문제의 최소화자 존재를 증명한다.
• 일반화된 라그랑주 승수 정리를 적용하여 최소화자가 고유값 방정식의 약한 형태를 만족하는 고유값 $\lambda$ 의 존재를 도출한다.
• 은밀한 함수 정리를 사용해 제약 조건의 비선형 펌터베이션을 다루며, 펌터베이션 경로에 대해 $\delta(0) = 0$ 이고 $\delta'(0) > 0$ 이 되도록 보장한다.
• 폴리아-슈비게르 타입의 대칭화 원리에 기반해 $H(t) = t g(t)$ 의 볼록성 가정 하에 대칭 영역과 일반 영역 간 고유값 비교를 수행한다.
• 에너지 함수의 비율 추정과 척도화 기법을 사용해 얇은 영역에서 고유값에 대한 일관된 하한을 확립한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 젊은 함수 $G$ 와 그 쌍대 함수가 $\Delta_2$ 조건을 만족하지 않을 경우 오르리츠-소볼레프 공간에서 분수 차수 $g$-라플라시안 고유값 문제를 해결할 수 있는가?
• RQ2 $\Delta_2$ 조건이 없을 경우 반사성이 없을 때 에너지 함수 $\mathcal{F}(u)$ 의 제약 최소화 문제 $\mathcal{J}(u) = \alpha$ 가 최소화자를 갖는가?
• RQ3 $\Delta_2$ 조건이 없을 경우 스펙트럼 집합에 대해 닫힘 성질 또는 하한과 같은 스펙트럼 성질을 어떻게 확립할 수 있는가?
• RQ4 비균질적 오르리츠 설정에서 대칭화 및 재배열 기법은 고유값 비교에 어떤 영향을 미치는가?
• RQ5 일반화된 라그랑주 승수 방법은 $\Delta_2$ 조건이나 프레셰 미분 가능성을 가정하지 않고도 비선형 고유값 문제에 적용 가능한가?

주요 결과

• 모든 $\alpha > 0$ 에 대해 제약 최소화 문제 $\min \{ \mathcal{F}(u) : u \in W^s_0 L^G(\Omega), \mathcal{J}(u) = \alpha \}$ 는 최소화자를 갖는다.
• 일반화된 라그랑주 승수 정리에 의해 고유값 $\lambda_\alpha$ 와 함께 비자명한 약한 해 $u_\alpha$ 가 존재한다.
• 스펙트럼 $\Sigma = \{ \lambda_\alpha \}$ 는 $\Delta_2$ 조건 없이도 닫혀 있다.
• 지름 $\mathbf{d} \leq ((1+\varepsilon)C)^{-1/s}$ 인 얇은 영역에서는 고유값이 $\lambda_\alpha \geq \varepsilon$ 를 만족하여 $\alpha$ 에 관계없이 일관된 하한을 갖는다.
• $H(t) = t g(t)$ 가 볼록일 경우, 임의의 영역 $\Omega$ 에 대해 구 $B$ 에서의 첫 번째 고유값은 $\lambda_\alpha(B) \leq \lambda_\alpha(\Omega)$ 를 만족하며, 이는 구가 첫 번째 고유값을 최소화함을 시사한다.
• 적절한 조건 하에서 $(-\Delta_g)^s u = \lambda g(|u|) \frac{u}{|u|} + f(u)$ 형식의 비선형 고유값 문제는 은밀한 함수 정리와 제약 조건의 안정성에 의해 해를 갖는다.