[논문 리뷰] Fractional elliptic problems with critical growth in the whole of $\R^n$

Serena Dipierro, María Medina외 1명|arXiv (Cornell University)|2015. 06. 04.

Nonlinear Partial Differential Equations참고 문헌 21인용 수 67

한 줄 요약

이 논문은 $ℝ^n$ 에서 임계 성장 조건을 갖는 분수계 타원형 방정식에 대해 변분 방법과 비국소적 확장 기법을 사용하여 최소한 두 개의 양수 해가 존재함을 증명한다. 저자들은 산맥 길이 정리와 특화된 농축-콤���트성 원리의 적응을 통해 전체 공간에서의 콤팩트성 부족 문제를 극복하며, 국소 최소값을 통한 하나의 해와 산맥 길이 기하학 아래 임계 임계값 이하에서의 모순을 통한 두 번째 해를 증명한다.

ABSTRACT

We study the following nonlinear and nonlocal elliptic equation in~$\R^n$ $$ (-Δ)^s u = ε\,h\,u^q + u^p \ {\mbox{ in }}\R^n, $$ where~$s\in(0,1)$, $n>2s$, $ε>0$ is a small parameter, $p=\frac{n+2s}{n-2s}$, $q\in(0,1)$, and~$h\in L^1(\R^n)\cap L^\infty(\R^n)$. The problem has a variational structure, and this allows us to find a positive solution by looking at critical points of a suitable energy functional. In particular, in this paper, we find a local minimum and a mountain pass solution of this functional. One of the crucial ingredient is a Concentration-Compactness principle. Some difficulties arise from the nonlocal structure of the problem and from the fact that we deal with an equation in the whole of~$\R^n$ (and this causes lack of compactness of some embeddings). We overcome these difficulties by looking at an equivalent extended problem.

연구 동기 및 목표

• 전체 공간 $ℝ^n$ 에서 비국소적 타원형 방정식의 해 존재성을 분석한다.
• 비국소적 라플라스 연산자와 비국소적 구조로 인해 발생하는 무한정 영역에서의 콤팩트성 부족 문제를 다룬다.
• 변분 기법을 사용하여 최소한 두 개의 서로 다른 양수 해의 존재를 확립한다.
• 임계 지수를 갖는 비국소 문제에 적합한 함수해석적 프레임워크를 개발한다.
• 클래식한 도구인 산맥 길이 정리와 농축-콤팩트성 원리를 비국소 설정에 적응한다.

제안 방법

• 에너지 함수를 이용해 방정식 $(-\Delta)^s u = \varepsilon h u^q + u^p$ 에 대한 변분 문제로 문제를 재구성한다.
• 비국소 방정식을 한 차원 높은 국소 문제로 변환하기 위해 확장된 문제 접근법을 사용한다.
• 임계 지수 $p = \frac{n+2s}{n-2s}$ 를 다루기 위해 가중치가 부여된 소볼레프 포함 정리를 적용한다.
• 비국소 설정에 맞게 조정된 농축-콤팩트성 원리를 수립하여 콤팩트성 부족 문제를 관리한다.
• 기능의 기하학적 성질과 팔라이-스미스 조건에 기반하여, 반증을 통한 산맥 길이 정리를 적용하여 두 번째 해를 찾는다.
• 팔라이-스미스 조건이 임계 수준 $\frac{s}{n} S^{n/(2s)}$ 이하에서 성립함을 증명하여 팔라이-스미스 수열의 수렴을 보장한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 임계 성장 조건을 갖는 분수계 타원형 방정식이 $\mathbb{R}^n$ 에서 최소한 두 개의 양수 해를 갖는가?
• RQ2 비국소 연산자와 임계 비선형성과 함께 작용할 때 전체 공간에서의 콤팩트성 부족 문제는 어떻게 극복할 수 있는가?
• RQ3 임계 지수를 갖는 비국소 방정식에 대해 산맥 길이 정리를 성공적으로 적용할 수 있는가?
• RQ4 확장된 문제의 역할은 비국소 방정식 분석을 단순화하는 데 어떤 기여를 하는가?
• RQ5 임계 수준 $\frac{s}{n} S^{n/(2s)}$ 이하에 있도록 유지되는 산맥 길이 경로를 구성하는 것은 가능한가?

주요 결과

• 저자들은 임계 성장 조건을 갖는 분수계 타원형 방정식에 대해 국소 최소값 해의 존재를 증명한다.
• 산맥 길이 기하학을 통한 반증을 통해 두 번째의 서로 다른 해를 확립하며, 기능이 유일한 임계점을 갖지 못함을 보여준다.
• 기능의 최소극대 수준 $c_\varepsilon$ 는 작은 $\varepsilon > 0$ 에서 임계 수준 $\frac{s}{n} S^{n/(2s)}$ 보다 엄밀히 작게 유지된다.
• 에너지 기능 $\mathcal{I}_\varepsilon$ 가 임계 수준 이하에서 팔라이-스미스 조건을 만족함을 증명하여 팔라이-스미스 수열의 수렴을 보장한다.
• 산맥 길이 경로 $t \mapsto t \bar{Z}_{\mu,\xi}$ 가 존재함을 확인하였으며, 작은 $\mu$ 에 대해 $\sup \mathcal{I}_\varepsilon(t \bar{Z}_{\mu,\xi}) < \frac{s}{n} S^{n/(2s)}$ 를 만족한다.
• 블로업 매개변수 $\mu$ 를 통해 해의 점근적 행동을 분석하였으며, $\mu \to 0$ 일 때 $T(\mu) = 1 - c_o \mu^\beta + o(\mu^\beta)$ 라는 형태를 취한다.