[논문 리뷰] Fractional Gamma process and fractional Gamma-subordinated processes

Luisa Beghin|arXiv (Cornell University)|2013. 05. 08.

Fractional Differential Equations Solutions참고 문헌 13인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 안정 하위순서자나 그 역수를 이용한 시간변환을 통해 감마 하위순서자 및 그 하위순서된 과정의 분수형 버전을 도입하고, 새로운 분수형 이동 연산자를 포함한 분수형 미분방정식을 유도한다. 주요 기여는 분수형 포커-플랭크 타입 방정식을 변동성 감마, 기하학적 안정, 음이이항 과정의 분포에 대해 유도한 것으로, Caputo 및 리만-리우빌 분수도수를 각각 ν < 1 및 ν > 1에 대해 사용하여 서로 다른 방정식을 도출한다.

ABSTRACT

We define and study fractional versions of the well-known Gamma subordinator $Γ:=\{Γ(t),$ $t\geq 0\},$ which are obtained by time-changing $% Γ$ by means of an independent stable subordinator or its inverse. Their densities are proved to satisfy differential equations expressed in terms of fractional versions of the shift operator (with fractional parameter greater or less than one, in the two cases). As a consequence, the fractional generalization of some Gamma subordinated processes (i.e. the Variance Gamma, the Geometric Stable and the Negative Binomial) are introduced and the corresponding fractional differential equations are obtained.

연구 동기 및 목표

• 시간변환된 레비 과정을 사용하여 감마 하위순서자 및 관련 과정의 분수형 일반화를 개발하기 위해.
• ν < 1 및 ν > 1에 대해 각각 Caputo 및 우측 리만-리우빌 분수도수를 기반으로 한 새로운 분수형 이동 연산자를 정의하기 위해.
• 분수형 감마 과정의 일변도 분포를 지배하는 분수형 미분방정식을 도출하기 위해.
• 변동성 감마, 기하학적 안정, 음이이항 과정을 포함한 하위순서된 과정으로 이 프레임워크를 확장하고, 그들의 분수형 역학을 도출하기 위해.
• 결과로 얻어진 분수형 과정의 레비 기호를 확립하여, ν > 1일 때 그 과정이 레비 과정의 구조를 유지함을 확인하기 위해.

제안 방법

• ν < 1에 대해 Γν(t) = Γ(ℒν(t)) 및 ν > 1에 대해 Ḡν(t) = Γ(𝒜1/ν(t))로 두 분수형 감마 과정을 정의하며, 이는 역하위순서자 및 안정 하위순서자를 사용한다.
• ν < 1에 대해 Caputo 분수도수를 사용하여 분수형 이동 연산자 𝒪c,xν를 도입하고, ν > 1에 대해 우측 리만-리우빌 도수를 사용하여 연산자 𝒪̄c,xν를 정의한다.
• 분수형 이동 연산자를 그 전이 밀도에 적용하여 Γν 및 Ḡν의 밀도에 대한 분수형 미분방정식을 도출한다.
• 같은 프레임워크를 브라운 운동 또는 복합 포아송 과정과 분수형 감마 과정을 조합하여 하위순서된 과정에 적용한다.
• 하위순서 원리(서브오르디네이션 원리)를 사용하여 결과 과정의 특성함수 및 레비 기호를 도출한다.
• 분수형 이동 연산자를 통해 분수형 미분방정식과 과정의 무한소 생성자 간의 관계를 확립한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 표준 감마 하위순서자는 시간변환된 레비 과정을 통해 어떻게 분수형으로 일반화될 수 있는가?
• RQ2 ν < 1 및 ν > 1에 대해 분수형 감마 과정의 전이 밀도를 지배하는 분수형 미분방정식은 무엇인가?
• RQ3 Caputo 및 리만-리우빌 도수를 기반으로 한 분수형 이동 연산자는 분수형 감마 과정의 역학과 어떻게 관련되는가?
• RQ4 분수형 시간변환이 적용된 변동성 감마, 기하학적 안정, 음이이항 과정의 분포가 만족하는 분수형 포커-플랭크 타입 방정식은 무엇인가?
• RQ5 분수형 하위순서된 과정이 레비 과정으로 남는 조건은 무엇이며, 그 레비 기호는 무엇인가?

주요 결과

• 분수형 감마 과정 Γν(t)의 밀도는 ν < 1일 때 분수형 미분방정식 𝒪−1,tνfΓν(z,t) = −1/p fΓν(z,t) + 1/p fΓν(z−1,t)를 만족한다.
• 분수형 감마 과정 Ḡν(t)의 밀도는 ν > 1일 때 분수형 미분방정식 𝒪̄−1,tνfḠν(z,t) = −1/p fḠν(z,t) + 1/p fḠν(z−1,t)를 만족한다.
• 분수형 변동성 감마 과정 Xν(t) = B(Γν(t))는 ν < 1일 때 분수형 미분방정식 𝒪−1,tνqkν(t) = 1/2 qkν(t) − 1/2 qk−1ν(t)를 만족한다.
• 분수형 음이이항 과정 Mν(t) = M(Ḡν(t))는 ν > 1일 때 분수형 미분방정식 𝒪̄−1,tνq̄kν(t) = 1/p q̄kν(t) − (1−p)/p q̄k−1ν(t)를 만족한다.
• ν > 1일 때, 분수형 변동성 감마, 기하학적 안정, 음이이항 과정은 레비 과정이며, 레비 기호는 각각 η(t) = −[log(1 + u²/2)]^{1/ν}, η(t) = −[log(1 + (−iu)^α)]^{1/ν}, η(t) = −[log((1−(1−p)e^{iu})/p)]^{1/ν}로 주어진다.
• 분수형 이동 연산자 𝒪c,xν 및 𝒪̄c,xν는 고전적 이동 연산자 e^{cDx}를 분수형 순서로 일반화하며, 이는 전이 밀도에 대한 분수형 포커-플랭크 방정식 유도를 가능하게 한다.