[논문 리뷰] Fractional Generalized KYP Lemma for Fractional Order System within Finite Frequency Range

Xiaogang Zhu, Jun‐Guo Lu|arXiv (Cornell University)|2017. 04. 27.

Advanced Control Systems Design인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 유한 주파수 대역 분석을 위한 분수계수 시스템(FOS)에 대해 고전적 GKYP 레미를 확장한 분수계수 일반화 킵스-요르단-파블로프스키(FGKYP) 레미를 제안한다. S-절차와 행렬 부등식 기법을 활용하여 선형행렬부등식(LMI)을 통한 L∞ 및 H∞ 노름 조건을 수립함으로써, 특정 주파수 대역 내에서 FOS에 대한 볼록 최적화 기반의 분석 및 제어 설계가 가능해지며, 0 < ν ≤ 1 및 1 < ν < 2에 대해 각각 다른 형태로 제시된다.

ABSTRACT

The celebrated GKYP is widely used in integer-order control system. However, when it comes to the fractional order system, there exists no such tool to solve problems. This paper prove the FGKYP which can be used in the analysis of problems in fractional order system. The $H_\infty$ and $L_\infty$ of fractional order system are analysed based on the FGKYP.

연구 동기 및 목표

• 기존의 일반화 킵스-요르단-파블로프스키(GKYP) 방법이 정수계수 시스템에 국한되어 있으므로, 분수계수 시스템(FOS)에 대한 유한 주파수 분석 도구를 개발하는 것.
• FOS에서 주파수 도메인 성능 요구사항과 시간 도메인 제어 설계 사이의 격차를 메우기 위해 유한 주파수 대역 분석을 가능하게 하는 것.
• L∞ 및 H∞ 노름에 대한 충분하고 필수 조건을 선형행렬부등식(LMI)을 통한 볼록 최적화를 통해 수립하는 것.
• 분수계수 0 < ν ≤ 1 및 1 < ν < 2에 적용 가능한 FGKYP에 대해 서로 다른 형태의 공식화를 제공함으로써, 서로 다른 시스템 동역학을 반영하는 것.
• 수치 예제를 통한 검증을 통해 제안된 LMI의 정확성과 한계를 입증하는 것.

제안 방법

• 유한 주파수 대역 내에서 주파수 도메인 부등식을 행렬 부등식으로 변환하기 위해 S-절차를 활용한다.
• 양의 정부호 행렬 U와 주파수에 따라 변하는 가중치를 포함하는 리아푸노프 유사 부등식을 구성함으로써 FOS의 L∞ 노름에 대한 FGKYP 레미를 유도한다.
• 0 < ν ≤ 1인 경우 H∞ 노름 조건을 위한 행렬 부등식 조건을 도출하며, 이는 sin(πν/2)와 슬랙 행렬 U를 포함한다.
• 1 < ν < 2인 경우 복소 주파수 영역 Ω를 실수축에 대해 대칭으로 정의하고 최대 모듈러스 원리를 적용하여 H∞ 조건을 적응한다.
• 표준 볼록 최적화 도구(예: MATLAB의 LMI 툴박스)를 사용할 수 있도록 실수 LMI 재구성 기법을 적용한다.
• 유도된 LMI를 수치적으로 풀고 전달 함수의 특이값 도표와 비교하여 이론적 결과의 타당성을 검증한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 일반화된 킵스-요르단-파블로프스키 레미는 분수계수 시스템에 대해 유한 주파수 대역 분석으로 확장될 수 있는가?
• RQ2 지정된 유한 주파수 대역 내에서 분수계수 시스템의 L∞ 노름에 대한 필수 및 충분 조건은 무엇인가?
• RQ3 유한 주파수 도메인에서 분수계수 0 < ν ≤ 1과 1 < ν < 2에 대해 H∞ 노름 조건은 어떻게 다를까?
• RQ4 제안된 FGKYP 레미는 표준 LMI 솔버를 사용한 볼록 최적화로 구현될 수 있는가?
• RQ5 이론적 LMI는 실제 시스템 성능와 어떻게 비교되는가? 수치 예제를 통해 검증된 바는 무엇인가?

주요 결과

• FGKYP 레미는 FOS의 유한 주파수 대역 내 L∞ 노름 분석에 대해 필요하고 충분함이 입증되었으며, 이에 해당하는 LMI 조건(43)은 수치적으로 해를 구할 수 있다.
• 0 < ν ≤ 1인 경우, H∞ 노름 조건은 jUB sin(πν/2)를 포함하는 LMI(66)로 주어지며, 이 LMI가 타당할 경우 H∞ < δ를 보장한다.
• 1 < ν < 2인 경우, H∞ 조건은 복소 주파수 영역 Ω와 최대 모듈러스 원리를 통해 유도되며, 유사한 구조이지만 다른 매개변수화를 갖는 별도의 LMI(72)를 도출한다.
• 수치 예제 1은 [0, 100] 범위에서 L∞ 노름이 0.77 이하임을 확인하였고, LMI(43)은 L∞ < 0.9를 만족하는 U와 V를 도출하여 정리의 타당성을 검증한다.
• δ = 0.6 < 0.77이면 LMI(43)이 해를 구하지 못함을 확인하여, 타당성을 확보하기 위해 δ는 실제 L∞ 노름을 초과해야 함을 확인한다.
• 예제 2는 LMI(66)을 통해 H∞ < 9.2가 검증되었지만, H∞ < 1.6는 LMI를 충족하지 못함을 보여주며, 이는 시스템의 실제 H∞ 노름을 정확히 반영하고 있음을 확인한다.