[논문 리뷰] Fractional Hardy-Sobolev elliptic problems

Jianfu Yang, Xiaohui Yu|arXiv (Cornell University)|2015. 03. 01.

Nonlinear Partial Differential Equations참고 문헌 15인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 분수계수 하디-소볼레프 타입 타원형 문제에 대해, 분수계수 라플라스 연산자 $(-\Delta)^{\frac{\alpha}{2}}$ 와 특이성을 갖는 1차 항 $\frac{|u|^{q-2}u}{|x|^s}$ 를 포함하는 존재성 결과를 확립한다. Caffarelli-Silvestre 확장 기법을 통해 비국소 문제를 가중 소볼레프 공간에서 국소 문제로 변환한다. 주요 기여는 변분 방법과 산맥 정리(Mountain Pass theorem)를 이용하여, 지수와 도메인 기하학에 대한 최적 조건 하에서 초임계, 소임계, 하디-소볼레프 임계 영역에서 비자명한 해의 존재성을 증명하는 것이다.

ABSTRACT

In this paper, we study the following singular nonlinear elliptic problem \begin{equation}\label{eq:1} \left\{ \begin{array}{ll} \displaystyle (-Δ)^{\frac α2} u=λ|u|^{r-2}u+μ\frac{|u|^{q-2}u}{|x|^{s}}\quad &{ m in }\quad Ω, \\ \\ u=0 &{ m on }\quad \partialΩ, \end{array} ight. \end{equation} where $Ω$ is a smooth bounded domain in $\mathbb R^N$ with $0\in Ω$, $λ,μ>0,0

연구 동기 및 목표

• 특이성 있는 분수계 타원형 문제에 대한 비자명한 해의 존재성을 조사한다.
• 기존의 Brezis-Nirenberg 및 하디-소볼레프 결과를 $0 < \alpha < 2$ 인 분수계 라플라스 연산자 설정으로 확장한다.
• 변분 방법을 사용하여 초임계, 소임계, 하디-소볼레프 임계 케이스에서 문제를 분석한다.
• 에너지 함수의 컴팩턴스 부족 문제를 농도-컴팩턴스 기법과 확장 기법을 통해 극복한다.
• 지수 $r$, $q$, $s$, $\alpha$ 간의 상호작용에 따라 해 존재 조건이 어떻게 결정되는지를 명확히 한다.

제안 방법

• Caffarelli-Silvestre 확장을 사용하여 비국소 분수계 문제를 상반평면 $\mathcal{C}_\Omega = \Omega \times (0,\infty)$ 에서의 국소 열화 타입 타원형 문제로 변환한다.
• 가중 소볼레프 공간 $H^{1}_{0,L}(\mathcal{C}_\Omega)$ 상에서 에너지 함수 $I(w) = \frac{1}{2}\int_{\mathcal{C}_\Omega} y^{1-\alpha}|\nabla w|^2 \, dx\,dy - \frac{\lambda}{r}\int_\Omega |w|^r \,dx - \frac{\mu}{q}\int_\Omega \frac{|w|^q}{|x|^s} \,dx$ 를 정의한다.
• Mountain Pass 정리를 적용하여 $I(w)$ 의 임계점을 찾는다. 이 경우, Palais-Smale 조건이 최적 상수 $S_{s,\alpha}^E$ 와 연관된 임계 수준 이하에서 성립함을 보여야 한다.
• 기존의 최적 함수 $U_\varepsilon(x) = \varepsilon^{\frac{N-\alpha}{2}}(\varepsilon^2 + |x|^2)^{-\frac{N-\alpha}{2}}$ 와 그 조화 확장 $w_\varepsilon$ 를 사용하여 시험 함수를 구성한다.
• 함수 $u_\varepsilon$ 와 $w_\varepsilon$ 를 포함하는 노름과 적분의 점근적 추정을 사용하여, Mountain Pass 수준이 임계 임계값 $c_\infty = \frac{\alpha - s}{2(N - s)}(S_{s,\alpha}^E)^{\frac{N-s}{\alpha-s}}$ 보다 아래에 있음을 보인다.
• Brezis-Lieb 보조정리와 최적 분수계 하디-소볼레프 부등식을 사용하여, 반증을 통해 $(PS)_c$ 조건을 증명한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 분수계 하디-소볼레프 문제에서 $\lambda$, $\mu$, $r$, $q$, $s$, $\alpha$, $N$ 에 대한 어떤 조건 하에서 비자명한 해가 존재하는가?
• RQ2 하디 타입 특이성 $|x|^{-s}$ 와 분수계 소볼레프 지수 $2_\alpha^*(s)$ 간의 상호작용이 해의 존재성에 어떻게 영향을 미치는가?
• RQ3 Palais-Smale 조건이 성립하기 위해 Mountain Pass 수준이 임계 임계값 $c_\infty$ 보다 엄격히 아래에 있는지 입증할 수 있는가?
• RQ4 확장 기법이 비국소 설정에서 컴팩턴스를 복원하고 변분 분석을 가능하게 하는 데 어떤 역할을 하는가?
• RQ5 시험 함수 $u_\varepsilon$ 와 그 확장 $w_\varepsilon$ 의 점근적 행동이 에너지 추정과 존재성 증명에 어떻게 영향을 미치는가?

주요 결과

• 모든 $\lambda > 0$, $\mu > 0$, $0 < s \leq \alpha < 2$, 그리고 원점이 포함된 $\mathbb{R}^N$ 내의 매끄럽고 유계된 도메인 $\Omega$ 에 대해, 문제는 적어도 하나의 비자명한 약한 해를 갖는다.
• 최적 조건 하에서 초임계 ($q < 2_\alpha^*(s)$), 소임계 ($q = 2_\alpha^*(s)$), 하디-소볼레프 임계 ($q = 2_\alpha^*(s)$) 경우 모두 존재성이 확립된다.
• Mountain Pass 수준 $c$ 는 $c < \frac{\alpha - s}{2(N - s)}(S_{s,\alpha}^E)^{\frac{N-s}{\alpha-s}}$ 를 만족하여, Palais-Smale 조건의 타당성을 보장한다.
• $N > 2\alpha$ 인 경우, $N > \alpha + \frac{2\alpha}{r}$ 를 만족할 때 존재성이 성립하며, $N = 2\alpha$ 인 경우 오차 추정에서 로그 보정이 필요하다.
• 증명은 최적 분수계 하디-소볼레프 부등식과 최적 상수 $S_{s,\alpha}^E$ 가 전체 공간 $\mathbb{R}^{N+1}_+$ 에서 최적 함수 $U_\varepsilon$ 의 확장에 의해 도달됨을 이용한다.
• 확장 기법은 $H^{\frac{\alpha}{2}}_0(\Omega)$ 와 $H^{1}_{0,L}(\mathcal{C}_\Omega)$ 간 등장성(isometry)을 보장하여, 국소 문제에서 표준 변분 도구를 사용할 수 있도록 한다.