[논문 리뷰] Fractional homomorphism, Weisfeiler-Leman invariance, and the Sherali-Adams hierarchy for the Constraint Satisfaction Problem

Silvia Butti, Víctor Dalmau|arXiv (Cornell University)|2021. 07. 06.

Constraint Satisfaction and Optimization인용 수 7

한 줄 요약

이 논문은 제약 충족 문제(CSP)의 맥락에서 분수형 준동형사상, Weisfeiler-Leman(WL) 알고리즘, 그리고 Sherali-Adams(SA) 계층 구조 사이의 깊은 연결 고리를 설정한다. 첫 번째 수준의 SA 계층이 분수형 동형사상을 특징짓고, 어떤 CSP가 k차원 WL에 대해 불변이면 그 정확히 그것이 다형성으로 닫혀 있는 분수형 준동형사상의 가족에 의해 정의 가능하다는 것을 증명한다.

ABSTRACT

Given a pair of graphs $\ extbf{A}$ and $\ extbf{B}$, the problems of deciding whether there exists either a homomorphism or an isomorphism from $\ extbf{A}$ to $\ extbf{B}$ have received a lot of attention. While graph homomorphism is known to be NP-complete, the complexity of the graph isomorphism problem is not fully understood. A well-known combinatorial heuristic for graph isomorphism is the Weisfeiler-Leman test together with its higher order variants. On the other hand, both problems can be reformulated as integer programs and various LP methods can be applied to obtain high-quality relaxations that can still be solved efficiently. We study so-called fractional relaxations of these programs in the more general context where $\ extbf{A}$ and $\ extbf{B}$ are not graphs but arbitrary relational structures. We give a combinatorial characterization of the Sherali-Adams hierarchy applied to the homomorphism problem in terms of fractional isomorphism. Collaterally, we also extend a number of known results from graph theory to give a characterization of the notion of fractional isomorphism for relational structures in terms of the Weisfeiler-Leman test, equitable partitions, and counting homomorphisms from trees. As a result, we obtain a description of the families of CSPs that are closed under Weisfeiler-Leman invariance in terms of their polymorphisms as well as decidability by the first level of the Sherali-Adams hierarchy.

연구 동기 및 목표

• Sherali-Adams 계층의 첫 번째 수준의 표현력을 분수형 준동형사상의 관점에서 특징짓는 것.
• 1차원 Weisfeiler-Leman 불변성과 분수형 동형사상 간의 알려진 등가성을 일반적인 관계 구조로 확장하는 것.
• 분수형 동형사상과 나무 준동형사상의 조합을 통해 CSP에 대한 k차원 Weisfeiler-Leman 불변성을 조합론적으로 특징짓는 것.
• k-WL에 대해 불변인 CSP를 다형성과 SA 계층의 관점에서 완전히 특징짓는 것.
• 기존의 분수형 동형사상, 균형 잡힌 분할, 나무에서의 준동형사상 수를 세는 것에 관한 결과들을 통합하고 일반화하는 것.

제안 방법

• 표준 준동형사상의 분수 할당을 이용한 연관 관계 구조 간의 분수형 준동형사상을 정의한다.
• k-WL에 대해 불변인 CSP의 개념을 도입하고, 나무에서의 분수형 준동형사상 존재와 연결한다.
• 주어진 구조 Q의 트리너비가 k 미만이면, 임의의 구조 D에 대해 Hom(T, D*) = Hom(Q, D)를 만족하는 나무 모양의 구조 T를 구성한다.
• CSP의 정수 프로그래밍 공식화를 SA 계층을 통해 완화하여, 첫 번째 수준이 정확히 분수형 동형사상 관계를 포괄한다는 것을 보인다.
• CSP가 k-WL에 대해 불변이면 그 정확히 그것이 k-항 나무에서 유도된 분수형 준동형사상에 의해 유도된 다형성에 대해 닫혀 있다는 것을 증명한다.
• 균형 잡힌 분할과 나무에서의 준동형사상 수를 세는 것을 활용하여, k-WL 불변성에 기반한 분수형 동형사상의 특징을 정의한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 Sherali-Adams 계층의 첫 번째 수준은 CSP 맥락에서 분수형 동형사상과 어떻게 관련이 있는가?
• RQ2 CSP의 Weisfeiler-Leman 불변성은 분수형 동형사상과 나무 준동형사상에 의해 조합론적으로 특징지을 수 있는가?
• RQ3 k차원 Weisfeiler-Leman 불변성과 CSP의 다형성 사이의 정확한 관계는 무엇인가?
• RQ4 분수형 동형사상은 그래프에 대한 고전적인 1-WL 등가성 개념을 임의의 관계 구조로 일반화하는 데 얼마나 효과적인가?
• RQ5 SA 계층을 사용하여 k-WL의 표현력을 논리적 정의 가능성과 다형성 닫힘의 관점에서 특징지을 수 있는가?

주요 결과

• Sherali-Adams 계층의 첫 번째 수준은 관계 구조 간의 분수형 동형사상 관계를 정확히 특징짓는다.
• CSP가 k차원 Weisfeiler-Leman에 대해 불변이면 그 정확히 그것이 k-항 나무에서 유도된 분수형 준동형사상에 의해 유도된 다형성에 대해 닫혀 있다는 것과 동치이다.
• 두 관계 구조 A와 B 사이의 분수형 동형사상은 1-WL 알고리즘이 그들을 구분하지 못할 때와 동치이다.
• 나무 T에서 구조 D* (D의 k-항 폐쇄)로의 준동형사상 존재는 T에서 D로의 분수형 준동형사상 존재와 동치이다.
• 구조 Q의 트리너비가 k 미만이면, 모든 구조 D에 대해 Hom(T, D*) = Hom(Q, D)를 만족하는 k-항 ftree T가 존재한다.
• 이 논문은 고전적인 1-WL, 균형 잡힌 분할, 나무에서의 준동형사상 수를 세는 방법을 이용한 분수형 동형사상의 특징을 임의의 관계 구조로 일반화한다.