[논문 리뷰] Fractional Leibniz integral rules for Riemann-Liouville and Caputo fractional derivatives and their applications

Ismail T. Huseynov, Arzu Ahmadova외 1명|arXiv (Cornell University)|2020. 12. 18.

Fractional Differential Equations Solutions참고 문헌 36인용 수 13

한 줄 요약

이 논문은 일반적인 순서 $ n-1 < \alpha \leq n $의 리만-리우빌 및 캐프토 차분 미분에 대한 분수계 미분법칙을 수립하여, 비동차 다항분수미분방정식의 후보 해에 대한 검증을 가능하게 한다. 주요 기여는 분수 그린 함수와 이변량 미타그레플러 함수를 사용하여 일반화된 배글리-토르빅 및 진동자 방정식의 명시적 해석적 해를 유도한 것으로, 새로운 적분 법칙을 통해 검증된다.

ABSTRACT

In recent years, the theory for Leibniz integral rule in the fractional sense has not been able to get substantial development. As an urgent problem to be solved, we study a Leibniz integral rule for Riemann-Liouville and Caputo type differentiation operators with general fractional-order of $n-1

연구 동기 및 목표

• 일반적인 분수 차수 $ \alpha \in (0,1) $를 초월하여 일반적인 분수 차수에 대한 분수계 라이프니츠 적분 법칙의 체계적 개발이 부족한 점을 보완하기 위해.
• 리만-리우빌 및 캐프토 미분에 대해 순서 $ n-1 < \alpha \leq n $에 대해 적용 가능한 일반화된 분수계 라이프니츠 법칙을 개발하기 위해.
• 분수 미분 아래 적분 기법을 활용하여 비동차 다항분수미분방정식의 후보 해에 대한 엄밀한 검증 프레임워크를 제공하기 위해.
• 분수 그린 함수 방법을 사용하여 일반화된 배글리-토르빅 및 진동자 방정식의 명시적 해석적 해를 유도하기 위해.
• 이변량 미타그레플러 함수로 표현된 해와 포크-라이트 및 다중매개변수 미타그레플러 함수와 같은 알려진 특수함수 간의 관계를 설정하기 위해.

제안 방법

• 임의의 순서 $ \alpha \in (n-1, n] $에 대해 리만-리우빌 및 캐프토 미분에 대한 일반화된 분수계 라이프니츠 적분 법칙 유도. 기존 결과를 확장하여 고전적 결과를 넘어서는 바.
• 다항분수미분방정식의 후보 해에 대한 대입을 통한 검증을 위해 분수계 라이프니츠 법칙의 적용.
• 일반화된 배글리-토르빅 및 진동자 방정식의 명시적 해를 구성하기 위해 분수 그린 함수의 사용.
• 적분 표현에서 기본 해 핵으로서의 이변량 미타그레플러 함수 $ E_{2,1,2} $, $ E_{2,1,1} $ 등 사용.
• 라플라스 적분 변환 기법을 활용하여, 미타그레플러 유형 함수의 형태로 유도 및 검증된 해의 유도.
• 이중계수 이항계수의 파스칼의 법칙을 활용하여 검증 과정에서의 고차 미분 표현을 단순화하고 검증.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 임의의 순서 $ \alpha \in (n-1, n] $에 대해, 적분 기호 아래 미분에 대한 고전적 라이프니츠 법칙을 어떻게 분수계 미분으로 일반화할 수 있는가?
• RQ2 리만-리우빌 및 캐프토 미분에 대해 $ \alpha \in (0,1) $의 경우를 초월한 분수계 라이프니츠 적분 법칙의 명시적 형태는 무엇인가?
• RQ3 제안된 분수계 라이프니츠 법칙을 사용하여 비동차 다항분수미분방정식의 해석적 해를 검증할 수 있는가?
• RQ4 일반화된 배글리-토르빅 및 진동자 방정식의 명시적 해석적 해는 이변량 미타그레플러 함수로 어떻게 표현되는가?
• RQ5 유도된 해는 포크-라이트 및 다중매개변수 미타그레플러 함수와 같은 알려진 특수함수와 어떻게 관련이 있는가?

주요 결과

• 논문은 순서 $ \alpha \in (n-1, n] $의 리만-리우빌 및 캐프토 미분에 대해 일반화된 분수계 라이프니츠 적분 법칙을 도출하였으며, 이는 이전 연구에서 $ \alpha \in (0,1) $에 국한된 결과를 확장한 것이다.
• 분수 그린 함수와 이변량 미타그레플러 함수 $ E_{2,1,2} $를 사용하여 일반화된 배글리-토르빅 방정식에 대해 명시적 해석적 해를 확보하였다.
• 새로운 분수계 라이프니츠 법칙을 사용하여 진동자 방정식의 해를 검증하였으며, 미분방정식의 구조와 일관성을 확인하였다.
• 유도된 해가 포크-라이트 유형 함수와 이중매개변수 미타그레플러 함수의 $ l $-차 미분과 일치함을 보여주어 기존 특수함수와의 관계를 설정하였다.
• 대입을 통한 검증을 통해 후보 해 $ y(t) = \int_0^t (t-s)E_{2,1,2}(\lambda(t-s)^2, \mu(t-s))g(s)ds $ 가 이차 분수미분방정식을 만족함을 확인하였다.
• 직접적인 적분 기호 아래의 미분을 새로운 분수계 라이프니츠 법칙을 사용하여 수행함으로써, 경계항과 미분 항등식을 포함한 해의 검증이 성공적으로 수행되었다.