[논문 리뷰] Fractional Negative Binomial and Polya Processes

P. Vellaisamy, Aditya Maheshwari|arXiv (Cornell University)|2013. 06. 11.

Fractional Differential Equations Solutions참고 문헌 23인용 수 7

한 줄 요약

이 논문은 분수 포아송 과정을 감마 서브디레이터에 따라 서브오르디네이션함으로써 분수 음이항 프로세스(FNBP)를 도입하고, 공간 분수 포아송 과정을 감마 서브디레이터에 따라 서브오르디네이션함으로써 공간 분수 푸아송 프로세스(SFPP)를 도입한다. 주요 기여는 FNBP가 장기적 의존성을 보이며, 그 한변분포가 무한가소적이지 않다는 것을 증명하는 것이며, SFPP는 시간 및 형태 매개변수에 대해 분수 편미분방정식을 만족하여 장기 기억성 및 무거운 尾를 가진 카운팅 프로세스에 대한 새로운 모델을 제공한다.

ABSTRACT

In this paper, we define a fractional negative binomial process (FNBP) by replacing the Poisson process by a fractional Poisson process (FPP) in the gamma subordinated form of the negative binomial process. First, it is shown that the one-dimensional distributions of the FPP are not infinitely divisible. The long-range dependence of the FNBP, the short-range dependence of its increments and the infinite divisibility of the FPP and the FNBP are investigated. Also, the space fractional Polya process (SFPP) is defined by replacing the rate parameter $λ$ by a gamma random variable in the definition of the space fractional Poisson process. The properties of the FNBP and the SFPP and the connections to $pde$'$s$ governing the density of the FNBP and the SFPP are also investigated.

연구 동기 및 목표

• 기존 감마 서브오르디네이션 프레임워크에서 표준 포아송 과정 대신 분수 포아송 과정을 사용하여 새로운 종류의 분수 음이항 프로세스(FNBP)를 정의하기.
• FNBP의 무한가소성 및 장기적 의존성 성질과 그 증분에 대한 연구.
• 공간 분수 포아송 과정을 감마 서브디레이터에 따라 서브오르디네이션함으로써 공간 분수 푸아송 프로세스(SFPP)를 도입하기.
• FNBP 및 SFPP의 시간 및 형태 매개변수 동역학을 지배하는 분수 편미분방정식을 유도하고 분석하기.
• 스토크라스틱 프로세스와 그를 지배하는 분수 편미분방정식 간의 관계를 수립하여, 고전 결과를 분수 설정으로 확장하기.

제안 방법

• FNBP를 $ Q_{\beta}(t,\lambda) = N_{\beta}(\Gamma(t), \lambda) $ 로 정의하며, 여기서 $ N_{\beta} $ 는 분수 포아송 과정이고 $ \Gamma(t) $ 는 감마 서브디레이터이다.
• 역 스케일 불변 서브디레이터 $ E_{\beta}(t) $ 를 사용하여 FPP의 제1통과 시간 구조를 특성화함으로써 시간 변화 표현을 가능하게 한다.
• 미타그레플레르 함수 및 M-Wright 함수를 포함하는 적분 변환을 통해 FNBP의 한변분포를 유도한다.
• FPP 자체가 무한가소적이지 않음에도 불구하고, FNBP의 주변 분포가 무한가소적이지 않음을 입증한다.
• SFPP를 $ \widetilde{W}^{\Gamma}_{\beta}(t) = \widetilde{N}_{\beta}(t, \Gamma) $ 로 정의하며, 여기서 $ \widetilde{N}_{\beta}(t, \lambda) = N(D_{\beta}(t), \lambda) $ 이고 $ D_{\beta}(t) $ 는 $ \beta $-스케일 불변 서브디레이터이다.
• 감마 함수 및 미타그레플레르 함수의 성질을 이용하여 SFPP의 확률질량함수에 대한 시간 $ t $ 와 형태 매개변수 $ p $ 에 대한 분수 편미분방정식을 유도한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 분수 음이항 프로세스(FNBP)의 한변분포는 무한가소적인가?
• RQ2 FNBP는 장기적 의존성을 보이며, 그 증분은 단기적 의존성을 보이는가?
• RQ3 공간 분수 일반화된 푸아송 프로세스를 구성할 수 있으며, 그 확률적 성질은 무엇인가?
• RQ4 SFPP의 시간 및 형태 매개변수 동역학을 지배하는 분수 편미분방정식은 무엇인가?
• RQ5 분수 포아송 과정과 그 서브오르디네이션 형태는 고전적 확률적 프로세스와 그를 지배하는 편미분방정식과 어떻게 관련이 있는가?

주요 결과

• FNBP의 한변분포는 무한가소적이지 않으며, 이는 기저의 분수 포아송 과정 역시 무한가소적이지 않기 때문이다.
• FNBP는 자기공분산함수의 거듭제곱 감쇠 특성에 의해 장기적 의존성을 보임을 입증하였다.
• FNBP의 증분은 단기적 의존성을 보이며, 시간이 지남에 따라 마르코프 유사한 기억 감쇠를 나타낸다.
• 공간 분수 푸아송 프로세스(SFPP)는 확률적으로 연속적이며, 증분이 정적일 수는 있지만, 독립 증분을 가지지 않으며 따라서 레비 과정이 아니다.
• SFPP의 확률질량함수는 시간 $ t $ 에 대해 $ k $-차 분수 편미분방정식을 만족하며, 다음 식으로 주어진다: $ \frac{\partial^k}{\partial t^k} \widetilde{\eta}_{\beta}(n|t,\alpha,p) = \left( -(1-u)^\beta \frac{\Gamma(p+\beta)}{\alpha^\beta \Gamma(p)} \right)^k \widetilde{\eta}_{\beta}(n|t,\alpha,p+k\beta) $.
• SFPP는 형태 매개변수 $ p $ 에 대해서도 분수 편미분방정식을 만족하며, 딤프라 함수 및 분수 도함수를 포함하며, 감마 밀도의 $ \nu $-차 도함수를 통해 도출된다.