[논문 리뷰] Fractional Order Malaria Model With Temporary Immunity

Eric Okyere, Francis T. Oduro외 3명|arXiv (Cornell University)|2016. 03. 21.

Fractional Differential Equations Solutions참고 문헌 36인용 수 7

한 줄 요약

이 논문은 인간의 일時성 면역을 포함한 분수계수 말라리아 전파 모델을 제안하며, Caputo 도함수를 사용하여 질병 동역학의 기억 효과를 기록한다. 다음 세대 행렬 방법을 통해 기본 재생수 $ R_0 $ 를 계산하고, 분수계수 도함수를 위한 Adams 유형의 예측-수정 방법을 사용한 수치 시뮬레이션은 분수계수 $ \alpha $ 가 감소할수록 시스템이 더욱 두드러진 진동 행동을 보임을 보여주며, 이는 기억 효과가 정수계수 모델과 비교해 전파 동역학에 상당한 영향을 미친다는 것을 시사한다.

ABSTRACT

In this paper, we propose and analyze a new fractional order malaria model with temporary immunity. We extend the existing malaria model to include fractional derivatives. Basic reproduction number is computed using the next generation matrix method. Model equilibria are determined and their local asymptotic stability analysis are considered. An efficient Adams-type predictor-corrector method is used to solve the initial value problem. Finally, phase plane portraits are generated to describe the dynamics between susceptible fractions of human hosts and infected fractions of mosquito vectors.

연구 동기 및 목표

• 기존의 정수계수 말라리아 모델을 확장하여 기억 효과를 기록하기 위해 분수계수 도함수를 포함한다.
• 분수계수 프레임워크 내에서 질병 없음 및 만성 감염 평형점의 국소적 점근적 안정성을 분석한다.
• 분수계산의 맥락에서 다음 세대 행렬 방법을 사용하여 기본 재생수 $ R_0 $ 를 계산한다.
• 분수계수 미분방정식을 위한 Adams 유형의 예측-수정 방법을 사용하여 모델 동역학을 수치적으로 시뮬레이션한다.
• 분수계수 $ \alpha $ 를 변화시켰을 때 시스템의 진동 행동과 수렴 속도에 어떤 영향을 미치는지 조사한다.

제안 방법

• 모델은 인간 및 모기 인구의 동역학을 기술하기 위해 $ \alpha \in (0,1] $ 의 Caputo 분수계수 도함수를 사용한다.
• 모델은 감염 가능자, 감염자, 회복자로 구성된 인간과 감염 가능자 및 감염자로 구성된 모기의 분류를 포함하며, 일시성 면역은 회복 및 재감염 동역학을 통해 모델링된다.
• 기본 재생수 $ R_0 $ 는 다음 세대 행렬 방법을 통해 유도되어 질병 임계치 행동의 해석 가능성을 확보한다.
• 초기값 문제를 해결하기 위해 Adams 유형의 예측-수정 수치적 방법이 구현되었으며, 계수 $ a_{j,k+1} $ 와 $ b_{j,k+1} $ 는 분수계수 이항 가중치를 통해 정의된다.
• 다양한 $ \alpha $ 값에서의 감염 가능자 인간과 감염자 모기 간의 상호작용을 시각화하기 위해 위상 평면도를 생성한다.
• 모수 값은 Tumwiine 등 (2007a) 에서 유도되었으며, 시뮬레이션에서는 만성 감염 조건을 나타내기 위해 $ R_0 = 1.5 $ 를 사용하였다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 분수계수 도함수의 포함이 일시성 면역을 고려한 말라리아 전파 모델의 안정성과 동역학에 어떤 영향을 미치는가?
• RQ2 분수계수 말라리아 모델에서 기본 재생수 $ R_0 $ 의 값은 얼마이며, 정수계수 모델과 비교해 어떻게 다른가?
• RQ3 분수계수 $ \alpha $ 의 다양한 값이 시스템의 진동 행동과 수렴 속도에 어떤 영향을 미치는가?
• RQ4 분수도함수에 포함된 기억 효과가 고전적 모델과 비교해 예측된 질병 궤적에 얼마나 큰 영향을 미치는가?
• RQ5 감염 가능자 인간과 감염자 모기의 위상 평면도가 $ \alpha $ 가 변화함에 따라 어떻게 변화하는가?

주요 결과

• 다음 세대 행렬 방법을 통해 기본 재생수 $ R_0 = 1.5 $ 가 계산되었으며, 이는 모델 내에서 지속적인 전파 가능성을 시사한다.
• $ \alpha $ 가 1에서 0.90으로 감소함에 따라 해가 점점 더 두드러진 진동을 보이며, 기억 효과가 질병 유병률의 주기적 행동을 강화함을 시사한다.
• $ \alpha = 1 $ 일 때, 분수계수 모델은 고전적인 정수계수 모델로 축소되며, 기존의 동역학과 일致함을 확인한다.
• Adams 유형의 예측-수정 방법은 다양한 $ \alpha $ 에서 복잡한 일시적 동역학, 즉 진동과 수렴 패턴을 성공적으로 기록한다.
• 위상 평면도는 감염 가능자 인간과 감염자 모기 간의 궤적 패턴이 $ \alpha $ 에 따라 변화함을 보이며, 이는 전파 효율성과 지속성의 변화를 시사한다.
• 모델은 분수계수 모델링이 정수계수 모델보다 더 풍부한 동역학적 구조를 제공하며, 특히 말라리아 전파에서 장기 기억 효과를 잘 포착할 수 있음을 보여준다.