[논문 리뷰] FRACTIONAL STOCHASTIC ACTIVE SCALAR EQUATIONS GENERALIZING THE MULTI-D-QUASI-GEOSTROPHIC & 2D-NAVIER-STOKES EQUATIONS. -SHORT NOTE-

Latifa Debbi|arXiv (Cornell University)|2012. 08. 14.

Stochastic processes and financial applications참고 문헌 24인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 국소 리프시츠 성질을 가진 다중성 소음 하에서, 2차원 분수 라그랑주-기상학적 방정식과 2차원 분수 레이놀즈 방정식을 포함한 d차원 분수 스토케스틱 활성 스칼라 방정식의 일련의 클래스에 대해, 미세한 해의 전역 존재성, 유일성 및 정칙성을 확립한다. 주요 기여는 자유 수렴 모드에서의 초임계 영역(α > α₀) 내에서 전역 미세 해의 존재성을 위한 임계 임계값 α₀(d) = 1 + (d−1)/3을 규명한 것이다.

ABSTRACT

We prove the well posedness: global existence, uniqueness and regularity of the solutions, of a class of d-dimensional fractional stochastic active scalar equations. This class includes the stochastic, dD-quasi-geostrophic equation, $ d\geq 1$, fractional Burgers equation on the circle, fractional nonlocal transport equation and the 2D-fractional vorticity Navier-Stokes equation. We consider the multiplicative noise with locally Lipschitz diffusion term in both, the free and no free divergence modes. The random noise is given by an $Q-$Wiener process with the covariance $Q$ being either of finite or infinite trace. In particular, we prove the existence and uniqueness of a global mild solution for the free divergence mode in the subcritical regime ($\alpha>\alpha_0(d)\geq 1$), martingale solutions in the general regime ($\alpha\in (0, 2)$) and free divergence mode, and a local mild solution for the general mode and subcritical regime. Different kinds of regularity are also established for these solutions. The method used here is also valid for other equations like fractional stochastic velocity Navier-Stokes equations (work is in progress). The full paper will be published in Arxiv after a sufficient progress for these equations.

연구 동기 및 목표

• d차원 분수 스토케스틱 활성 스칼라 방정식의 넓은 클래스에 대해 해의 전역 존재성, 유일성 및 정칙성—즉, 잘 정의됨—을 확립하는 것.
• 유한 또는 무한 추적을 가진 Q-와이너 과정을 통한 스토케스틱 교란을 포함하여 분석을 확장하여, 자유 수렴 및 비자유 수렴 모드를 모두 다루는 것.
• 자유 수렴 조건 하에서 초임계 영역 내 전역 미세 해의 존재성을 위한 임계 임계값 α₀(d) = 1 + (d−1)/3을 규명하는 것.
• 일반적인 영역(α ∈ (0, 2))에서 마팅게일 해를 구성하기 위해, 힐버트 공간 기법을 타입 2의 바나흐 공간으로 일반화하는 것.
• 구성적 방법을 통해 일반 모드 및 초임계 영역에 대한 국소 미세 해를 제공하며, 정밀한 정칙성 추정을 제시하는 것.

제안 방법

• 공분산 Q가 유한 또는 무한 추적을 가지는 Q-와이너 과정에 의해 구동되는 추상적인 스토케스틱 진화 방정식으로 문제를 공식화하는 것.
• 2 ≤ q < ∞ 및 δ ≥ 0에 대해 Hδ,q(Td) 공간에서 UMD 바나흐 공간 이론을 적용하여, 힐버트 공간 기법을 바나흐 공간 설정으로 확장하는 것.
• 소음 항 G(t, θ)를 특징짓기 위해 γ-라돈화 연산자를 사용하여, 해가 필요한 정칙성 클래스에 머무르도록 보장하는 것.
• 스토케스틱 콘볼루션과 함께 반군 e−Aαt를 포함하는 미세 해 공식을 사용하여 다중성 소음 및 비선형 항을 처리하는 것.
• 전역 존재성이 보장되지 않을 경우 국소 미세 해를 구성하기 위해 정지 시간 기법과 국소화를 적용하는 것.
• 에너지 추정 및 임bedding 정리(임베딩 정리)를 통해 정칙성을 확립하며, 특히 L² 유형 노름에서 β ≤ α/2 − d/2 + d/q인 경우에 초점을 맞추는 것.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 d차원 분수 스토케스틱 활성 스칼라 방정식의 자유 수렴 모드에서 전역 미세 해의 존재성을 위한 임계 임계값 α₀(d)는 무엇인가?
• RQ2 소음이 다중성이고 국소 리프시츠 성질을 가질 때, 바나흐 공간의 타입 2에서 스토케스틱 활성 스칼라 방정식의 잘 정의됨을 어떻게 확립할 수 있는가?
• RQ3 일반 영역(α ∈ (0, 2))에서 자유 수렴 경우에 마팅게일 해를 구성할 수 있으며, 그 정칙성은 어떠한가?
• RQ4 초기 자료와 소음 계수 G가 국소 존재성 및 미세 해의 정칙성 보장에 어떤 조건을 가져야 하는가?
• RQ5 해의 정칙성은 분수 차수 α, 공간 차원 d, 적분 가능성 지수 q에 따라 어떻게 달라지는가?

주요 결과

• d ∈ {1, 2, 3}일 때, α > α₀(d) = 1 + (d−1)/3이면 자유 수렴 모드에서 유일한 전역 미세 해가 존재하며, β ≤ α/2 − d/2 + d/q인 경우 L∞(0, T; Lq) ∩ L²(0, T; Hβ,q)에 속한다.
• 해는 E[sup[0,T] |θ(t)|qLq + ∫₀ᵀ |θ(t)|²Hβ,q dt] < ∞를 만족하여 강한 모멘트 유계를 확인한다.
• d ∈ {2, 3}일 때, 두 가지 추가 경우에서 전역 해가 존재한다: (1) 3d/(d−1) ≤ q ≤ ∞ 및 d − 2d/q < α ≤ 2, (2) d/(α−1) < q ≤ q₀ ≤ 3d/(d−1) 및 1 + d/q < α ≤ 2.
• 가정 (B)에서 δ > 0이면 해는 추가 정칙성을 확보한다: θ(·, ω) ∈ L∞(0, T; Hδ₁,q)이며, 0 ≤ δ₁ ≤ min{δ, α−1−d/q}이다.
• 일반 모드 및 초임계 영역에서는 Lp(Ω; L∞(0, τ∞; Hδ₁,q) ∩ C([0, τ∞); H−δ′′,q)) 내에 국소 미세 해가 존재하며, δ′′ ≥ α + 1 + d/q − δ이다.
• 일반 영역(α ∈ (0, 2)) 및 자유 수렴 모드에서는 약한 공식 (2.6)–(2.7)을 만족하는 마팅게일 해가 존재하며, q = 2일 때 해는 d(1−2/q) ≤ α ≤ 2 및 적절한 q에 대해 L∞(0, T; L²) ∩ L²(0, T; Hα/2,2)에 속한다.