[논문 리뷰] Fractionalization of Coset Non-Invertible Symmetry and Exotic Hall Conductance

Po-Shen Hsin, Ryohei Kobayashi외 1명|arXiv (Cornell University)|2024. 05. 30.

Advanced Physical and Chemical Molecular InteractionsChemistry인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 (2+1)차원 topological phase에서 $G/K$ 형태의 분수화된 비가역 대칭을 다루는 프레임워크를 제안한다. 여기서 $K$ 는 $G$ 의 비정규 부분군이다. 비가역 대칭임에도 불구하고 '샌드위치' 구조의 결함과 명시적 격자 모델을 통해 난류 Hall 전도도가 발생할 수 있음을 보이며, $O(2)$ 와 $S_3$ 게이지 이론의 주요 예시에서 분수화된 anyon과 혼합된 이상성을 보인다.

ABSTRACT

We investigate fractionalization of non-invertible symmetry in (2+1)D topological orders. We focus on coset non-invertible symmetries obtained by gauging non-normal subgroups of invertible $0$-form symmetries. These symmetries can arise as global symmetries in quantum spin liquids, given by the quotient of the projective symmetry group by a non-normal subgroup as invariant gauge group. We point out that such coset non-invertible symmetries in topological orders can exhibit symmetry fractionalization: each anyon can carry a "fractional charge" under the coset non-invertible symmetry given by a gauge invariant superposition of fractional quantum numbers. We present various examples using field theories and quantum double lattice models, such as fractional quantum Hall systems with charge conjugation symmetry gauged and finite group gauge theory from gauging a non-normal subgroup. They include symmetry enriched $S_3$ and $O(2)$ gauge theories. We show that such systems have a fractionalized continuous non-invertible coset symmetry and a well-defined electric Hall conductance. The coset symmetry enforces a gapless edge state if the boundary preserves the continuous non-invertible symmetry. We propose a general approach for constructing coset symmetry defects using a "sandwich" construction: non-invertible symmetry defects can generally be constructed from an invertible defect sandwiched by condensation defects. The anomaly free condition for finite coset symmetry is also identified.

연구 동기 및 목표

• 가역 대칭에서 비가역 대칭으로의 대칭 분수화를 확장하는 것, 특히 $K$ 가 $G$ 에서 비정규일 경우의 $G/K$ 형태의 코셋 대칭에 초점 맞추기.
• 양자 스핀 액체와 게이지화된 FQH 상태에서 발생하는 이러한 비가역 대칭이 topological order에서 어떻게 분수화될 수 있는지 이해하기.
• (2+1)차원에서 코셋 비가역 대칭의 분수화 패턴을 체계적으로 구축하고 분류하는 방법을 수립하기.
• 비가역 대칭임에도 불구하고 이러한 대칭이 잘 정의된 전기 Hall 전도도를 지닐 수 있음을 보여주기.
• 분수화된 비가역 대칭을 가진 시스템에서 이상성과 비압축 임계점의 역할 탐구하기.

제안 방법

• 가역 대칭 결함와 응집 결함(하나의 부분군 $K$ 를 응집시키는 결함)을 조합하여 비가역 결함를 구성하는 '샌드위치' 메커니즘을 사용한다.
• 블록 topological order 를 기술하기 위해 Chern-Simons 장 이론을 사용하며, 주요 예시로 $O(2)_{2k}$ 와 $S_3$ 양자 듀얼 모델을 활용한다.
• 대칭 분수화를 분석하기 위해 $G$ 의 표현을 $K$ 의 표현으로 분해하고, 코셋 대칭이 윌슨 선에 어떻게 작용하는지 분석한다.
• anyon 이 대칭 결함와 브레인딩하는 방식과 윌슨 선이 코셋 대칭 하에서 어떻게 변환되는지 분석하여 격자상에서의 분수화 데이터를 유도한다.
• 이상성 유입과 일관성 조건을 적용하여 유한한 코셋 대칭에 대한 가능한 분수화 패턴을 분류한다.
• 비압축 임계점을 연구하기 위해 $G$ 의 이산 부분군 $K$ 를 게이지화하여 1형 대칭과 코셋 대칭 간 혼합 이상성을 이끌어낸다.

Figure 1: The continuous non-invertible symmetry defect of the gauged theory $\mathcal{T}/K$ is understood as an invertible defect sandwiched by a pair of half gauging defects.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 비정규 부분군 $K$ 를 갖는 $G/K$ 형태의 비가역 대칭이 (2+1)차원 topological phase에서 어떻게 분수화될 수 있는가?
• RQ2 이러한 비가역 대칭에서의 분수화의 물리적 의미와 측정 가능한 결과는 무엇이며, 특히 전도도 반응 측면에서 어떻게 나타나는가?
• RQ3 비가역 대칭을 가진 시스템에서 잘 정의된 Hall 전도도를 정의할 수 있는가? 그리고 기존의 $U(1)$ Hall 전도도와 어떻게 다를까?
• RQ4 코셋 비가역 대칭 작용 하에서 anyon 의 브레인딩 및 융합 성질은 어떻게 변형되는가?
• RQ5 1형 대칭과 코셋 대칭 간 혼합 이상성이 비압축 양자 임계점에 미치는 영향은 무엇인가?

주요 결과

• U(1)_{2k} FQH 상태의 $\bZ_2$ 전하 역전 대칭을 게이지화하여 유도된 $O(2)_{2k}$ Chern-Simons 이론은 연속적인 비가역 대칭 $(U(1)\rtimes\bbZ_2)/\bbZ_2$ 를 보이며, 이를 코스인 대칭이라 한다.
• 이 코스인 대칭은 분수화되어 있다: $O(2)_{2k}$ 이론의 anyon 들은 전하 역전에 의해 관련된 반대 분수 전하의 초위상으로 표현되는 상태를 지닌다.
• 비가역 대칭임에도 불구하고 전기 Hall 전도도는 잘 정의되어 있으며 전하 역전에 대해 짝수이므로 일관된 응답 함수를 가질 수 있다.
• $S_3$ 양자 듀얼 모델에서 코셋 대칭 $S_3/\bbZ_2$ 는 $\bbZ_2$ 윌슨 선에 비정상적으로 작용하여 이를 진공 선으로 매핑한다. 이는 가역 대칭에서는 불가능한 변환이다.
• $S_3/\bbZ_2$ 대칭의 분수화는 $\bbZ_2$ 1형 대칭과 코셋 대칭 간 혼합 이상성을 유도하며, 이는 임계점에서의 응집을 방지한다.
• 결함 샌드위치 구조는 가역 대칭과 응집 결함로부터 비가역 결함를 체계적으로 구성할 수 있는 일반적인 메커니즘을 제공하며, 분수화 패턴의 체계적 분류를 가능하게 한다.

Figure 2: (a): The junction of the cosine symmetry defects that corresponds to the fusion channel $\tilde{U}_{[g]}\times\tilde{U}_{[g^{\prime}]}\to\tilde{U}_{[gkg^{\prime}k^{-1}]}$ . (b): Conjugating the invertible defects by $k\in K$ in the network of coset symmetry defects leads to an another expr