[논문 리뷰] Fragile topological insulators protected by rotation symmetry without spin-orbit coupling

Shingo Kobayashi, Akira Furusaki|arXiv (Cornell University)|2021. 04. 28.

Topological Materials and Phenomena참고 문헌 97인용 수 23

한 줄 요약

이 논문은 스핀-오비트 결합이 없는 시간역전대칭성(클래스 AI)을 가지며, 회전대칭(Cn, n=2,4,6)에 의해 보호되는 3차원 파라피식(topological) 절연체를 제안한다. 이 경우 궤도 자유도가 허위 스핀( pseudo-spin )으로 기능한다. 윌슨 루프 불변량을 사용하여 두 가지 유형을 식별한다: 하나는 Z 오일러 클래스가 다수의 디랙 콘을 보호하는 것으로, 다른 하나는 Cn 및 시간역전대칭에 의해 보호되는 Z2 불변량이 제곱형 밴드 트러빙 또는 다수의 디랙 콘을 보호하는 것으로, 둘 다 Cn 및 시간역전대칭에 대해 안정하다.

ABSTRACT

We present a series of models of three-dimensional rotation-symmetric fragile topological insulators in class AI (time-reversal symmetric and spin-orbit-free systems), which have gapless surface states protected by time-reversal ($T$) and $n$-fold rotation ($C_n$) symmetries ($n=2,4,6$). Our models are generalizations of Fu's model of a spinless topological crystalline insulator, in which orbital degrees of freedom play the role of pseudo-spins. We consider minimal surface Hamiltonian with $C_n$ symmetry in class AI and discuss possible symmetry-protected gapless surface states, i.e., a quadratic band touching and multiple Dirac cones with linear dispersion. We characterize topological structure of bulk wave functions in terms of two kinds of topological invariants obtained from Wilson loops: $\mathbb{Z}_2$ invariants protected by $C_n$ ($n=4,6$) and time-reversal symmetries, and $C_2T$-symmetry-protected $\mathbb{Z}$ invariants (the Euler class) when the number of occupied bands is two. Accordingly, our models realize two kinds of fragile topological insulators. One is a fragile $\mathbb{Z}$ topological insulator whose only nontrivial topological index is the Euler class that specifies the number of surface Dirac cones. The other is a fragile $\mathbb{Z}_2$ topological insulator having gapless surface states with either a quadratic band touching or four (six) Dirac cones, which are protected by time-reversal and $C_4$ ($C_6$) symmetries. Finally, we discuss the instability of gapless surface states against the addition of $s$-orbital bands and demonstrate that surface states are gapped out through hybridization with surface-localized $s$-orbital bands.

연구 동기 및 목표

• 스핀-오비트 결합이 없는 클래스 AI 내에서 파라피식(topological) 절연체를 규명하는 것.
• 시간역전대칭 및 Cn 대칭에 의해 보호되는 표면 무간극 상태를 분류하는 것.
• 윌슨 루프 불변량을 사용하여 고체-경계 상응관계를 수립하는 것.
• s-오비탈 혼성화에 의한 표면 상태의 안정성을 분석하는 것.
• 오비탈 각운동량에 기반하여 Z 및 Z2 파라피식(topological) 불변량을 구분하는 것.

제안 방법

• 각운동량 l을 갖는 궤도 허위 스핀을 사용하여 푸의 스핀 없는 결정학적(topological crystalline) 절연체 모델을 일반화한다.
• Cn 및 시간역전대칭을 갖는 최소 2×2 및 4×4 표면 해밀토니안을 구성한다.
• 윌슨 루프 불변량을 계산하여 Cn 및 TR에 의해 보호되는 Z2 불변량과 C2T 대칭에 의해 보호되는 오일러 클래스(Z 불변량)를 추출한다.
• 오일러 클래스를 사용하여 두 밴드가 점령되었을 때 표면 디랙 콘의 수를 특성화한다.
• 표면에 국한된 s-오비탈 밴드와의 혼성화를 통해 표면 상태의 불안정성을 분석한다.
• 표면 상태가 표면에서 s-오비탈 밴드와 혼성화하지 않는 한, 항상 무간극 상태로 유지된다는 것을 보여준다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 스핀-오비트 결합이 없는 클래스 AI 내에서 파라피식(topological) 절연체가 존재할 수 있는가?
• RQ2 Cn 및 시간역전대칭이 동시에 작용할 경우 어떤 표면 무간극 상태가 나타나는가?
• RQ3 윌슨 루프 불변량은 회전대칭 시스템 내에서 파라피식(topological) 상을 어떻게 분류하는가?
• RQ4 오일러 클래스와 Z2 불변량은 파라피식(topological) 상을 구분하는 데 어떤 역할을 하는가?
• RQ5 왜 Wannier 장애가 비트리ivial 밴드에 의해 해결되더라도 표면 상태는 안정한가?

주요 결과

• 2l ≡ 0 mod n (n=2,4,6)일 때, C2T 대칭에 의해 보호되는 표면에 n개의 디랙 콘을 갖는 파라피식(topological) 절연체가 나타난다.
• 2l ≠ 0 mod n일 경우, 고대칭 점에서 제곱형 밴드 트러빙이 발생한다.
• 오일러 클래스(Z 불변량)는 두 밴드가 점령되었을 때만 유효하며, 다수의 디랙 콘을 갖는 파라피식(Z) 절연체를 특성화한다.
• Cn 및 TR 대칭에 의해 보호되는 Z2 불변량은 제곱형 밴드 트러빙 또는 다수의 디랙 콘을 갖는 파라피식(Z2) 절연체를 분류한다.
• 표면 디랙 콘은 표면에 국한된 s-오비탈 밴드와 혼성화하지 않는 한 항상 무간극 상태로 유지되며, 이는 고체의 Wannier 장애가 해결된 경우에도 마찬가지다.
• 두 밴드 초과 점령 시 Z 값을 갖는 오일러 클래스는 더 이상 Z2 값을 갖는 두 번째 스티펠-브라운 클래스로 감소하여 비트리ivial 절연체가 된다.