[논문 리뷰] Framed motives of smooth affine pairs

Andrei Druzhinin|arXiv (Cornell University)|2018. 03. 30.

Algebraic Geometry and Number Theory참고 문헌 10인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 무한한 완전체 $k$ 위의 스무스 아핀 스킴 $X$ 와 그의 열린 부분스킴 $U \subset X$로 이루어진 스무스 아핀 쌍 $(X, U)$에 대해 프레임드 모티브 이론을 확장한다. $\Sigma_{\mathbb{P}^1}^\infty(X_+/U_+)$의 모티브 스uspension 스펙트럼에 대해, 프레임드 카운터스에 의존하는 명시적 모티브 스펙트럼의 $\Omega$-해체를 구성하며, 이로써 $\mathrm{M}_{\mathrm{fr}}(X_+/U_+)_{f}$ 스펙트럼이 양의 차수에서 모티브적으로 fibrant인 $\Omega$-스펙트럼과 안정적으로 동치임을 증명한다.

ABSTRACT

The theory of framed motives by Garkusha and Panin gives computations in the stable motivic homotopy category $\mathbf{SH}(k)$ in terms of Voevodsky's framed correspondences. In particular the motivically fibrant $Ω$-resolution in positive degrees of the motivic suspension spectrum $Σ_{\mathbb P^1}^\infty X_+$, where $X_+=X\amalg *$, for a smooth scheme $X\in \mathrm{Sm}_k$ over an infinite perfect field $k$, is computed. The computation by Garkusha, Neshitov and Panin of the framed motives of relative motivic spheres $(\mathbb A^l imes X,(\mathbb A^l-0) imes X)$, $X\in \mathrm{Sm}_k$, is one of ingredients in the theory. In the article we extend this result to the case of a pair $(X,U)$ given by a smooth affine variety $X$ over $k$ and an open subscheme $U\subset X$. The result gives the explicit motivically fibrant $Ω$-resolution in positive degrees for the motivic suspension spectrum $Σ_{\mathbb P^1}^\infty (X_+/U_+)$ of the factor-sheaf $X_+/U_+$.

연구 동기 및 목표

• 스무스 스킴에서부터 스무스 아핀 쌍 $(X, U)$로 프레임드 모티브 이론을 일반화하기 위해.
• 스무스 아핀 $X$에 대해 모티브 스uspension 스펙트럼 $\Sigma_{\mathbb{P}^1}^\infty(X_+/U_+)$의 모티브적으로 fibrant한 $\Omega$-해체를 계산하기 위해.
• 프레임드 모티브 구성 $\mathrm{M}_{\mathrm{fr}}(X_+/U_+)_{f}$ 가 양의 차수에서 모티브적으로 fibrant한 $\Omega$-스펙트럼을 유도함을 확립하기 위해.
• Garkusha, Neshitov, Panin의 Cone 정리를 아핀 쌍의 경우로 확장하여, $\mathbf{SH}(k)$ 내에서 $X/U$에 대한 기하학적 모델을 제공하기 위해.

제안 방법

• Voevodsky의 프레임드 카운터스를 사용하여, 프레임드 사상의 기하학적 자료를 캡처하는 $\mathrm{Fr}(-, X/U)$ 를 $n$에 대한 $\mathrm{Fr}_n(-, X/U)$ 의 합성으로 정의한다.
• 스물스름한 코-근사화를 $\Delta^\bullet \times -$ 류로 적용한 $C^*$-구성법을 통해 $\mathrm{Fr}(-, X/U \wedge S^i)$ 에 기반한 $S^1$-스펙트럼 $\mathrm{M}_{\mathrm{fr}}(X_+/U_+)$ 를 구성한다.
• 결과 스펙트럼이 양의 차수에서 모티브적으로 fibrant이도록 수준별로 단사적 국소 fibrant 대체 $(-)_f$ 를 적용한다.
• $\mathbb{P}^1$-스펙트럼 $\mathrm{M}_{\mathbb{P}^1}(X,U)$ 는 $\mathbb{A}^1/\mathbb{G}_m$-스펙트럼에서 $\mathbb{P}^1$-스펙트럼으로의 자연스러운 함자 $\nu$ 에 의한 이미지로 정의되며, 안정 동치를 유지한다.
• $\Sigma_{\mathbb{P}^1}^\infty(X_+/U_+)$ 와 $\mathrm{M}_{\mathbb{P}^1}(X,U)_{f}$ 사이, 그리고 $\Sigma_{\mathbb{G}_m}^\infty \Sigma_{S^1}^\infty(X_+/U_+)$ 와 $\mathbb{G}_m$-이중스펙트럼 $\mathrm{M}^{\mathbb{G}_m}_{\mathrm{fr}}(X,U)_{f}$ 사이의 안정 모티브 약한 동치를 확립한다.
• 핵심 기술적 도구로, $\mathbb{A}^1//\mathbb{G}_m$ 과 $\mathrm{pt}//\mathbb{G}_m$ 사이의 $\mathbb{A}^1$-국소 동치를 사용하며, 이는 $\mathrm{Fr}((X/U) \wedge (\mathbb{A}^1//\mathbb{G}_m)^{\wedge i})$ 와 $\mathrm{Fr}((X/U) \wedge (\mathbb{G}_m^\wedge i \wedge S^i))$ 사이의 동치를 유도한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 스무스 스킴에서부터 스무스 아핀 쌍 $(X, U)$로 프레임드 모티브 구성법을 어떻게 확장할 수 있는가?
• RQ2 스무스 아핀 $X$ 에 대해 $S^1$-스펙트럼 $\mathrm{M}_{\mathrm{fr}}(X_+/U_+)_{f}$ 는 양의 차수에서 모티브적으로 fibrant한가?
• RQ3 자연스러운 사상 $\Sigma_{\mathbb{P}^1}^\infty(X_+/U_+) \to \mathrm{M}_{\mathbb{P}^1}(X,U)_{f}$ 는 $\mathbf{SH}(k)$ 내에서 안정 모티브 약한 동치를 유도하는가?
• RQ4 $\mathbb{P}^1$-스펙트럼 $\mathrm{M}_{\mathbb{P}^1}(X,U)$ 는 자연스러운 함자 $\nu$ 를 통해 $\mathbb{A}^1/\mathbb{A}^1\setminus 0$-스펙트럼의 이미지로 표현될 수 있는가?
• RQ5 프레임드 모티브 스펙트럼 $\mathrm{M}^{\mathbb{G}_m}_{\mathrm{fr}}(X,U)_{f}$ 와 반복 스uspension 스펙트럼 $\Sigma_{\mathbb{G}_m}^\infty \Sigma_{S^1}^\infty(X_+/U_+)$ 사이의 관계는 무엇인가?

주요 결과

• $T = (\mathbb{A}^1, \mathbb{A}^1 \setminus 0)$ 를 사용하여 $C^*\mathrm{Fr}(-, X/U \wedge T^i)$ 로 정의된 스펙트럼 $\mathrm{M}_{\mathbb{P}^1}(X,U)_{f}$ 는 양의 차수에서 모티브적으로 fibrant한 $\Omega_{\mathbb{P}^1}$-스펙트럼이다.
• $\Sigma_{\mathbb{P}^1}^\infty(X_+/U_+)$ 에서 $\mathrm{M}_{\mathbb{P}^1}(X,U)_{f}$ 로 가는 자연스러운 사상은 $\mathbf{SH}(k)$ 내에서 안정 모티브 약한 동치이다.
• $S^1$-스펙트럼 $\mathrm{M}_{\mathrm{fr}}(X_+/U_+)_{f}$ 는 양의 차수에서 모티브적으로 fibrant한 $\Omega$-스펙트럼이며, $\mathbf{SH}_{S^1}(k)$ 내에서 정확한 호모토피 유형을 갖는다.
• $\mathbb{G}_m$-이중스펙트럼 $\mathrm{M}^{\mathbb{G}_m}_{\mathrm{fr}}(X,U)_{f}$ 는 $S^1$-양의 차수에서 모티브적으로 fibrant한 $\Omega$-이중스펙트럼이며, $\Sigma_{\mathbb{G}_m}^\infty \Sigma_{S^1}^\infty(X_+/U_+)$ 와 안정적으로 동치이다.
• $\mathbb{A}^1$-국소 동치 $\mathbb{A}^1//\mathbb{G}_m \simeq \mathrm{pt}//\mathbb{G}_m$ 는 프레임드 카운터스 셋 $\mathrm{Fr}((X/U) \wedge (\mathbb{A}^1//\mathbb{G}_m)^{\wedge i})$ 와 $\mathrm{Fr}((X/U) \wedge (\mathbb{G}_m^\wedge i \wedge S^i))$ 사이에 강력한 $\mathbb{A}^1$-국소 동치를 유도하며, 이는 스펙트럼 간 비교를 가능하게 한다.
• $\mathrm{M}_{\mathbb{P}^1}(X,U)$ 는 $\nu(\mathrm{M}^T_{\mathrm{fr}}(X,U))$ 로 얻어지며, 여기서 $\nu$ 는 $\mathbb{P}^1 \to \mathbb{A}^1/\mathbb{A}^1\setminus 0$ 에 의해 유도되는 함자이며, 이는 안정 동치를 유지한다.