[논문 리뷰] Framed Rank r Torsion-free Sheaves on CP^2 and Representations of the Affine Lie Algebra \hat{gl(r)}

Anthony Licata|ArXiv.org|2006. 07. 26.

Algebraic structures and combinatorial models참고 문헌 11인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 복소 평면 $ℂ\mathbb{P}^2$ 위의 프레임된 랭크 $r$ 토퍼션 프리 셰이프의 모듈리 공간의 등변 코homology를 이용하여, 애프라인 리 대수 $\widehat{gl}(r)$의 수준 1 및 수준-$k$ 기약 표현의 기하적 실현을 구축한다. $\mathbb{Z}_k$-작용을 도입하고 고정점 성분을 분석함으로써, 저자들은 나카지마 퀼런 베리에티에 수준-$k$ 표현을 실현하며, $\widehat{gl}(r)$의 수준 $k$와 $\widehat{gl}(k)$의 수준 $r$ 사이에 기하적 수준-랭크 dualit의 성립을 보인다. 이 작업은 나카지마의 구성 방법을 확장하며, 보존-페르미온 대응의 기하적 해석을 제공한다.

ABSTRACT

We construct geometric realizations of the r-colored bosonic and fermionic Fock space on the equivariant cohomology of the moduli space of framed rank r torsion-free sheaves on CP^2. Using these constructions, we realize geometrically all level one irreducible representations of the affine Lie algebra \hat{gl(r)}. The cyclic group Z_k acts naturally on the moduli space of sheaves, and the fixed-point components of this action are cyclic Nakajima quiver varieties . We realize level k irreducible representations of \hat{gl(r)} on the equivariant cohomology of these quiver varieties.

연구 동기 및 목표

• 프레임된 랭크 $r$ 토퍼션 프리 셰이프의 모듈리 공간을 이용하여 애프라인 리 대수 $\widehat{gl}(r)$의 기약 표현의 기하적 실현을 구축한다.
• 이전의 코homology 위에서 히젠베르크 및 클리포드 대수 작용의 기하적 구성 방식을 확장하여, $\widehat{gl}(r)$의 고수준 표현을 포함한다.
• 등변 코homology의 고정점 다양체의 성질을 통해, $\widehat{gl}(r)$의 수준 $k$ 표현과 $\widehat{gl}(k)$의 수준 $r$ 표현 사이의 기하적 수준-랭크 dualit를 확립한다.
• 셰이프 모듈리 공간에서 히젠베르크 및 클리포드 대수 작용의 상호작용을 통해 보존-페르미온 대응의 기하적 해석을 제공한다.

제안 방법

• 두 번째 코homology 클래스가 $n$인 랭크 $r$ 토퍼션 프리 셰이프의 모듈리 공간 $M_{\vec{l}}(r,n)$을 사용하며, 이는 $\vec{l} \in \mathbb{Z}^r$ 에 의해 지정된 토르스 작용을 갖는다.
• 등변 국소화를 적용하여 $M_{\vec{l}}(r,n)$ 의 등변 코homology를 고정점 부분다양체, 특히 $\mathbb{C}^2$의 Hilbert 스킴 $\mathbb{C}^2^{[n_i]}$ 의 곱과 연결한다.
• $M_{\vec{l}}(r,n)$ 의 등변 코homology 위에 히젠베르크 및 클리포드 대수의 관계를 실현하는 연산자를 구성한다.
• $M_{\vec{l}}(r,n)$ 에 $\mathbb{Z}_k$-작용을 도입하며, 이의 고정점 성분은 $\widehat{sl}(k)$ 의 애프라인 딜린 다이어그램과 관련된 순환 나카지마 퀼런 베리에티와 동형이다.
• $M_{\vec{l}}(r,n)^{\mathbb{Z}_k}$ 의 고정점 다양체의 곱에서 대응을 정의하여, 수준 $k$에서의 히젠베르크 대수 작용을 실현함으로써 $\widehat{gl}(r)$ 의 표현을 얻는다.
• $M_{\vec{l}}(r,n)^{\mathbb{Z}_k}$ 의 등변 코homology와 $\mathcal{B}^r_k$ 사이의 동형사를 확립함으로써, $\widehat{gl}(r)$ 의 수준-$k$ 표현의 기하적 실현을 가능하게 한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 등변 코homology를 통해 $\mathbb{CP}^2$ 위의 프레임된 셰이프 모듈리 공간의 성질을 어떻게 이용하여 애프라인 리 대수 $\widehat{gl}(r)$ 의 표현을 실현할 수 있는가?
• RQ2 $M_{\vec{l}}(r,n)$ 의 모듈리 공간에서 $\mathbb{Z}_k$-작용의 기하적 역할은 무엇이며, 이것이 $\widehat{gl}(r)$ 의 고수준 표현을 어떻게 이끌어내는가?
• RQ3 히젠베르크 및 클리포드 대수 작용의 상호작용을 통해 셰이프 모듈리 공간에서 보존-페르미온 대응을 기하적으로 실현할 수 있는가?
• RQ4 $\widehat{gl}(r)$ 의 수준 $k$ 표현과 $\widehat{gl}(k)$ 의 수준 $r$ 표현 사이에 기하적 수준-랭크 dualit가 존재하는가? 만약 그렇다면, 코homology 내에서 어떻게 실현되는가?
• RQ5 $\widetilde{\mathbb{C}^2/\mathbb{Z}_k}$ 위의 $U(r)$-instanton 모듈리 공간과 $\widetilde{\mathbb{C}^2/\mathbb{Z}_r}$ 위의 $U(k)$-instanton 모듈리 공간 사이의 관계는 무엇이며, 이는 코homology 내에서의 dualit와 어떻게 관련되는가?

주요 결과

• $\bigoplus_{\vec{l},n} H^{mid}_T(M_{\vec{l}}(r,n), \mathbb{C})$ 는 무한차원 클리포드 대수의 기약 모듈러의 기하적 실현을 지닌다.
• 모든 고정된 $\vec{l} \in \mathbb{Z}^r$ 에 대해, 공간 $\bigoplus_n H^{mid}_T(M_{\vec{l}}(r,n), \mathbb{C})$ 는 무한차원 히젠베르크 대수의 기약 모듈러를 실현한다.
• $\bigoplus_{\vec{l} \in Q, n} H^{mid}_T(M_{\vec{l}}(r,n), \mathbb{C})$ 는 $Q = \{ \vec{l} \mid \sum l_i = 0 \}$ 일 때, $\widehat{gl}(r)$ 의 기본(수준 1) 표현을 기하적으로 실현한다.
• $M_{\vec{l}}(r,n)$ 의 $\mathbb{Z}_k$-고정점 성분은 $\widehat{sl}(k)$ 의 애프라인 딜린 다이어그램과 관련된 순환 나카지마 퀸런 베리에티와 동형이다.
• $\mathcal{B}^r_k = \bigoplus_{\vec{l},n} H^{mid}_T(M_{\vec{l}}(r,n)^{\mathbb{Z}_k}, \mathbb{C})$ 는 $\widehat{gl}(r)$ 의 수준-$k$ 기약 표현의 직합의 기하적 실현을 지닌다.
• 저자들은 기하적 수준-랭크 dualit를 확립한다: $\mathcal{B}^r_k$ 는 $\widehat{gl}(r)$ 의 수준-$k$ 표현과 $\widehat{gl}(k)$ 의 수준-$r$ 표현을 모두 지닌다. 이는 $\widetilde{\mathbb{C}^2/\mathbb{Z}_k}$ 위의 $U(r)$-instanton과 $\widetilde{\mathbb{C}^2/\mathbb{Z}_r}$ 위의 $U(k)$-instanton 사이의 dualit를 시사한다.