[논문 리뷰] Frames and Bases in Tensor Product of Hilbert Spaces

Amir Khosravi, Mohammad Sadegh Asgari|arXiv (Cornell University)|2012. 03. 31.

Mathematical Analysis and Transform Methods참고 문헌 11인용 수 17

한 줄 요약

이 논문은 힐버트 공간의 텐서곱에서의 프레임과 기저에 대한 이론적 프레임워크를 수립하며, 만약 Y₁, Y₂, ..., Yₙ이 각각 힐버트 공간 H₁, H₂, ..., Hₙ에 대한 프레임이라면, 그들의 텐서곱 Y₁⊗Y₂⊗...⊗Yₙ이 텐서곱 공간 H₁⊗H₂⊗...⊗Hₙ에 대한 프레임을 이룬다는 것을 증명한다. 또한 텐서곱 공간에서의 캐논컬 듀얼 프레임을 특성화하고, 개별 공간 내의 듀얼 프레임과 그들의 텐서곱 사이의 관계를 유도하여, 고전적 프레임 이론을 다중선형 설정으로 확장한다.

ABSTRACT

In this article we develop a theory for frames in tensor product of Hilbert spaces. We show that like bases if Y_1, Y_2, \cdot \cdot \cdot, Y_n are frames for H_1,H_2, \cdot \cdot \cdot, H_n, respectively, then Y_1\otimesY_2\otimes...\otimesY_n is a frame for H_\otimes1H_2\otimes \cdot \cdot \cdot \otimesH_n. Moreover we consider the canonical dual frame in tensor product space. We further obtain a relation between the dual frames in Hilbert spaces, and their tensor product.

연구 동기 및 목표

• 개별 힐버트 공간에서의 프레임 이론을 텐서곱 공간으로 확장하기 위해.
• 구성 요소 힐버트 공간 내의 프레임의 텐서곱이 결과 텐서곱 공간 내의 프레임을 형성하는지 조사하기 위해.
• 텐서곱 공간 내의 캐논컬 듀얼 프레임을 특성화하기 위해.
• 구성 요소 공간 내의 듀얼 프레임과 그들의 텐서곱의 듀얼 프레임 사이의 수학적 관계를 수립하기 위해.

제안 방법

• 힐버트 공간 텐서곱의 대수적 및 위상적 구조를 사용하여 텐서곱 힐버트 공간 내의 프레임과 기저를 정의하기 위해.
• 만약 {y_{i}^{(k)}}가 H_k에 대한 프레임이라면, 집합 {y_{i_1}^{(1)} ⊗ y_{i_2}^{(2)} ⊗ ... ⊗ y_{i_n}^{(n)}}가 H₁⊗H₂⊗...⊗Hₙ에 대한 프레임을 이룬다는 것을 증명하기 위해.
• 정규직교 기저와 프레임 상한의 성질을 사용하여 텐서곱 공간 내의 프레임 조건을 검증하기 위해.
• 틀링 연산자의 역행렬을 사용하여 텐서곱 공간 내의 캐논컬 듀얼 프레임을 유도하기 위해.
• 구성 요소 공간 내의 듀얼 프레임과 텐서곱 프레임의 듀얼 간의 관계를 수립하기 위해.
• 특히 힐버트 공간 연산자와 텐서곱의 맥락에서 알려진 기능해석학 및 프레임 이론의 결과를 활용하기 위해.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 개별 힐버트 공간 내의 프레임의 텐서곱이 텐서곱 공간 내의 프레임을 생성하는가?
• RQ2 힐버트 공간의 텐서곱 내의 캐논컬 듀얼 프레임의 구조는 어떠한가?
• RQ3 구성 요소 공간 내의 듀얼 프레임은 텐서곱 공간 내의 듀얼 프레임과 어떻게 관련되어 있는가?
• RQ4 텐서곱 프레임의 프레임 상한은 개별 프레임의 프레임 상한으로 표현될 수 있는가?
• RQ5 정규직교 기저는 텐서곱 공간 내의 프레임을 구성하는 데 어떤 역할을 하는가?

주요 결과

• 힐버트 공간 H₁, H₂, ..., Hₙ에 대한 프레임 {Y₁, Y₂, ..., Yₙ}의 텐서곱은 텐서곱 공간 H₁⊗H₂⊗...⊗Hₙ에 대한 프레임을 이룬다.
• 텐서곱 프레임의 캐논컬 듀얼 프레임은 개별 프레임의 캐논컬 듀얼 프레임의 텐서곱이다.
• 텐서곱 프레임의 프레임 상한은 개별 프레임의 프레임 상한의 곱이다.
• 텐서곱 공간 내의 듀얼 프레임은 구성 요소 공간 내의 듀얼 프레임을 텐서곱 연산을 통해 명시적으로 구성할 수 있다.
• 이 이론은 정규직교 기저의 행동을 다중선형 설정 내의 프레임으로 일반화하여, 핵심적인 쌍대성 및 재구성 성질을 유지한다.