[논문 리뷰] Free adequate semigroups

Mark Kambites|ArXiv.org|2009. 02. 02.

semigroups and automata theory참고 문헌 14인용 수 7

한 줄 요약

이 논문은 자유 적합 반군을 자연스러운 곱셈 연산을 갖춘 간선에 레이블이 부여된 방향성 있는 트리의 집합으로 명시적인 조합론적 기술을 제공한다. 이는 이러한 트리를 Munn 트리로 변환하는 '접기' 사상(folding map)을 도입하여, Munn의 자유 역반군에 대한 작업에 기하학적 대응을 구축하고, 자유 적합 반군이 J-자명임을 증명하며, 유한 생성으로서의 반군으로서의 성질이 없음을 보이며, 유한 생성 (2,1,1)-대수에서 단어 문제의 결정 가능성을 입증한다.

ABSTRACT

We give an explicit description of the free objects in the quasivariety of adequate semigroups, as sets of labelled directed trees under a natural combinatorial multiplication. The morphisms of the free adequate semigroup onto the free ample semigroup and into the free inverse semigroup are realised by a combinatorial "folding" operation which transforms our trees into Munn trees. We use these results to show that free adequate semigroups and monoids are J-trivial and never finitely generated as semigroups, and that those which are finitely generated as (2,1,1)-algebras have decidable word problem.

연구 동기 및 목표

• 자유 적합 반군에 대한 명시적인 조합론적 기술을 제공함으로써, 이전에 이러한 특성화가 부족했던 상태를 해결하는 것.
• 자유 역반군에 대한 Munn의 기하학적 접근을 더 넓은 적합 반군의 범주로 일반화하는 것.
• 자유 적합 반군과 모노이드의 구조적 및 알고리즘적 성질을 규명함: J-자명성과 유한 생성 성질에 대한 분석.
• 자유 적합 반군을 (2,1,1)-대수로 간주할 때, 유한 생성 자유 적합 반군에서의 단어 문제가 결정 가능함을 보이는 것.

제안 방법

• 자유 적합 반군을 자연스러운 곱셈 연산을 갖춘 간선에 레이블이 부여된 방향성 있는 루트 트리로 구성된 집합으로 표현한다.
• 이러한 트리를 Munn 트리로 변환하는 '접기' 연산을 정의하여, 자유 적합 반군에서 자유 역반군으로의 사상 구현.
• 자르기(pruning)와 동형 불변성(invariance)을 이용하여 대수적 연산에 의한 트리의 동치류를 특성화.
• 자른 트리의 구조와 그 곱셈 행동을 응용하여 단사 사상과 재접합(retraction)을 통해 J-자명성을 증명.
• 깊이 함수 δ(X)를 활용하여 유한한 트리 집합이 모든 가능한 트리를 생성할 수 없음을 보이며, 무한 생성성을 증명.
• 트리의 동형과 자르기 기법을 활용하여 단어 문제의 결정 가능성을 보장하며, 전수 탐색을 통한 결정 절차 수립.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 자유 적합 반군은 Munn의 자유 역반군에 대한 기술과 유사한 조합론적 기술로 명시적으로 기술될 수 있는가?
• RQ2 자유 적합 반군에서 자유 역반군으로의 사상은 조합론적으로 어떻게 나타나는가?
• RQ3 자유 적합 반군은 J-자명한가? 이 성질이 유도하는 구조적 결과는 무엇인가?
• RQ4 자유 적합 반군의 단어 문제는 알고리즘적으로 결정 가능한가? 그 계산 복잡도는 어떻게 되는가?
• RQ5 자유 적합 반군은 반군으로서 유한 생성 가능한가? 이는 대수적 서명(signature)에 따라 어떻게 달라지는가?

주요 결과

• 자유 적합 반군과 모노이드는 J-자명하다. 즉, 두 개 이상의 서로 다른 원소가 동일한 주어진 양측 아이디얼을 생성할 수 없다.
• 자유 적합 반군은 반군으로서 결코 유한 생성이 될 수 없으며, 이는 트리 깊이가 유계가 아니기 때문이다.
• 유한 생성 자유 적합 반군 또는 모노이드의 단어 문제는 결정 가능하다. 동치성은 자른, 레이블이 부여된, 방향성 있는 트리의 동형성으로 귀결된다.
• 자유 적합 반군에서 자유 역반군으로의 사상은 트리를 Munn 트리로 변환하는 조합론적 접기 연산에 해당한다.
• 정점에서 트렁크까지의 최대 거리를 측정하는 깊이 함수 δ(X)는 곱셈에 대해 가환적이며, 자유 반군 전반에서 유계가 아니며, 이는 무한 생성성을 증명한다.
• 트리의 자르기와 동형 테스트는 단어 문제의 결정 절차를 제공하지만, 그 계산 복잡도는 아직 규명되지 않았다.