[논문 리뷰] Free Brownian motion and free convolution semigroups: multiplicative case

Ping Zhong|arXiv (Cornell University)|2012. 10. 23.

Random Matrices and Applications참고 문헌 20인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 자유 복합 세미군집을 이용하여 단위 원 위의 곱셈 자유 브라운 운동 프레임워크를 수립하고, 보조관계를 유도하며 곱셈 보편적 및 자유 복합 전환을 특성화한다. 주요 기여는 곱셈 자유 복합에 대한 한 측도의 $Σ$-전환과 그 보조관계를 연결하는 함수 방정식을 제시함으로써, 단위 원 위의 곱셈 자유 무한가소성 설정으로 Bercovici-Pata 이중사상의 확장을 이룬다.

ABSTRACT

We consider a pair of probability measures $μ,ν$ on the unit circle such that $Σ_λ(η_ν(z))=z/η_μ(z)$. We prove that the same type of equation holds for any $t\geq 0$ when we replace $ν$ by $ν\boxtimesλ_t$ and $μ$ by $\mathbb{M}_t(μ)$, where $λ_t$ is the free multiplicative analogue of the normal distribution on the unit circle of $\mathbb{C}$ and $\mathbb{M}_t$ is the map defined by Arizmendi and Hasebe. These equations are a multiplicative analogue of equations studied by Belinschi and Nica. In order to achieve this result, we study infinite divisibility of the measures associated with subordination functions in multiplicative free Brownian motion and multiplicative free convolution semigroups. We use the modified $\mathcal{S}$-transform introduced by Raj Rao and Speicher to deal with the case that $ν$ has mean zero. The same type of the result holds for convolutions on the positive real line. We also obtain some regularity properties for the free multiplicative analogue of the normal distributions.

연구 동기 및 목표

• 자유 복합 세미군집을 이용하여 단위 원 위의 곱셈 자유 브라운 운동 프레임워크를 개발한다.
• 단위 원 위의 곱셈 자유 복합에 대한 보조 함수를 특성화한다.
• 단위 원 위의 덧셈에서 곱셈 자유 무한가소성 설정으로 Bercovici-Pata 이중사상을 확장한다.
• 곱셈 자유 복합 하에서 $Σ$-전환과 $η$-전환 간의 기능적 관계를 유도한다.
• 단위 원 위의 곱셈 자유 무한가소성에 대한 Lévy-Hinōin 유형의 표현을 수립한다.

제안 방법

• 단위 원 위의 확률 측도와 그 곱셈 자유 복합을 특성화하기 위해 $η$-전환과 $Σ$-전환을 사용한다.
• 해석적 계속성과 역함수 기법을 적용하여 곱셈 자유 복합 하에서 측도 간의 보조관계를 도출한다.
• 해석 함수의 Herglotz 표현을 활용하여 $Σ$-전환을 측도와 실수 매개변수의 형태로 표현한다.
• 함수 방정식을 유도하여 $k_{\mu}(z) = z / \eta_{\mu}(z)$를 Herglotz 적분의 지수함수로 연결함으로써 무한가소성의 특성화를 가능하게 한다.
• 오른쪽 역함수 $H_t(z) = z \exp((t-1)u(z))$를 사용하여 $\mu^{\boxtimes t}$를 $\eta_{\mu^{\boxtimes t}}(z) = \eta_{\mu}(\omega_t(z))$로 정의한다.
• 측도 $\mu$에 대한 $\mu^{\boxtimes 2}$의 보조 함수 $\omega_2$를 활용하여 측도 $\sigma = \mathbb{M}(\mu)$를 정의하며, 이는 Bercovici-Pata 이중사상과 연결된다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 단위 원 위에서 보조 함수를 통해 곱셈 자유 브라운 운동은 어떻게 특성화될 수 있는가?
• RQ2 측도의 $\Sigma$-전환과 그 곱셈 자유 복합 하에서의 보조관계 사이의 기능적 관계는 무엇인가?
• RQ3 함수 $k_{\mu}(z)$가 어떤 $\nu$에 대해 $\Sigma_{\lambda}(\eta_{\nu}(z))$ 형태로 표현될 수 있는 조건은 무엇인가?
• RQ4 Bercovici-Pata 이중사는 단위 원 위의 덧셈에서 곱셈 자유 무한가소성 설정으로 어떻게 확장되는가?
• RQ5 평균 $m_1(\mu)$는 $k_{\mu}(z)$의 구조와 단위 원 위의 자유 정규 분포와의 관계에서 어떤 정확한 역할을 하는가?

주요 결과

• $\mu^{\boxtimes 2}$에 대한 보조 함수 $\omega_2$는 $\eta_{\sigma}(z) = \omega_2(z)$를 만족하며, 이에 대응하는 측도 $\sigma$는 $\mathbb{M}(\mu)$와 동일하다. 즉, $\mu$의 곱셈 Bercovici-Pata 이중사상에 의한 이미지이다.
• $\mu \in \mathcal{ID}(\boxtimes, \mathrm{T})$에 대해 함수 $H(z) = z\Sigma_{\mu}(z)$는 $\eta_{\mu}(z)$의 좌측 역함수이며, $H$는 단위 원판을 단순 연결 도메인으로 사상하며, 그 경계는 단순 폐곡선이다.
• 단위 원 $\mathrm{T}$ 위의 $\boxtimes$-무한가소 측도의 $\Sigma$-전환은 Lévy-Hinōin 표현을 갖는다: $\Sigma_{\mu}(z) = \exp\left(\alpha i + \int_{\mathrm{T}} \frac{1+\xi z}{1-\xi z} d\sigma(\xi)\right)$.
• $k_{\mu}(z) = \Sigma_{\lambda}(\eta_{\nu}(z))$ 조건이 어떤 $\nu$에 대해 성립하는 것은 $|m_1(\mu)| = e^{-1/2}$일 때에만 성립하며, 이는 $\mu$의 평균과 원 위의 자유 정규 분포를 연결한다.
• $1/m_1(\mu)$의 편각은 $b \in [0, 2\pi)$와 같으며, 레비 측도 $\tau$의 총변동량은 $\tau(\mathrm{T}) = \ln|1/m_1(\mu)|$를 만족한다. 이는 Herglotz 표현에 의한 $k_{\mu}$의 완전한 매개변수화를 제공한다.
• $\mu \in \mathcal{M}_{\mathrm{T}}^*$ 이고 $m_1(\mu) > 0$ 이면, $u(z)$를 $k_{\mu}(z) = \exp(u(z))$로부터 유도한 $H_t(z) = z \exp((t-1)u(z))$의 오른쪽 역함수 $\omega_t$를 통해 $\mu^{\boxtimes t}$가 잘 정의된다.