[논문 리뷰] Free-by-cyclic groups have solvable conjugacy problem

Oleg Bogopolski, Armando Martino외 2명|ArXiv.org|2004. 05. 10.

Geometric and Algebraic Topology참고 문헌 13인용 수 32

한 줄 요약

이 논문은 자유군의 기저를 가진 유한 생성 자유-순환군에서 공액 문제의 해법을 제시하며, 이를 자유군에서의 비틀림 공액 문제로 환원한다. 마슬라코바의 자동형사상의 고정부분군을 계산하는 알고리즘과 브링크만의 순환어가 자동형사상의 거듭제곱에 의해 대응되는지 결정하는 결정 가능 결과를 활용하여, 공액 원소를 효과적으로 계산하는 알고리즘을 구성한다. 이 알고리즘은 거듭제곱 공액 문제로도 확장된다.

ABSTRACT

We show that the conjugacy problem is solvable in [finitely generated free]-by-cyclic groups, by using a result of O. Maslakova that one can algorithmically find generating sets for the fixed subgroups of free group automorphisms, and one of P. Brinkmann that one can determine whether two cyclic words in a free group are mapped to each other by some power of a given automorphism. The algorithm effectively computes a conjugating element, if it exists. We also solve the power conjugacy problem and give an algorithm to recognize if two given elements of a finitely generated free group are Reidemeister equivalent with respect to a given automorphism.

연구 동기 및 목표

• 유한 생성 자유-순환군에서 공액 문제를 해결하는 것 — 이들은 일반적으로 쌍곡적이거나 자동적이지 않을 수 있다.
• 특수한 경우(예: 자동형사상의 순서가 유한하거나 내부 자동형사상일 경우)에 알려진 결과를 일반 알고리즘으로 확장하는 것.
• 존재할 경우 두 군 원소 사이의 공액 원소를 효과적으로 계산하는 알고리즘을 제공하는 것.
• 두 원소가 거듭제곱을 취한 후 공액이 되는지 여부를 판단하는 거듭제곱 공액 문제를 해결하는 것.
• 자유군에서 Reidemeister 등가성과 비틀림 공액성에 대한 열린 질문에 답하는 것.

제안 방법

• 자유-순환군에서의 공액 문제를 기저 자유군에서의 비틀림 공액 문제로 환원한다.
• 마슬라코바의 알고리즘을 적용하여 자유군 자동형사상의 고정부분군에 대한 유한 생성 집합을 계산한다.
• 브링크만의 결정 가능 결과를 활용하여 두 순환어가 주어진 자동형사상의 거듭제곱에 의해 관련되어 있는지 여부를 판단한다.
• 자유군에서의 근의 유일성을 활용하여 거듭제곱 공액 문제를 근 문제와 비틀림 공액 검사로 환원한다.
• 기술적 보조정리를 적용하여 거듭제곱 공액 문제에서의 지수 탐색 공간을 줄여, 검토해야 할 케이스 수를 제한한다.
• 이러한 도구들을 조합하여 표준 공액 문제와 거듭제곱 공액 문제를 모두 해결하는 완전하고 효과적인 알고리즘을 구성한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 모든 유한 생성 자유-순환군에서 공액 문제를 해결할 수 있는가? 비록 쌍곡적이거나 자동적이지 않더라도 말이다?
• RQ2 이러한 군에서 주어진 두 군 원소 사이의 공액 원소를 효과적으로 계산할 수 있는 알고리즘이 존재하는가?
• RQ3 모든 자동형사상에 대해 유한 생성 자유군에서 비틀림 공액 문제를 알고리즘적으로 해결할 수 있는가?
• RQ4 이러한 군에서 거듭제곱 공액 문제에 대해 지수와 공액 원소를 명시적으로 계산할 수 있는 결정 절차가 존재하는가?
• RQ5 자유군에서 주어진 자동형사상에 대한 Reidemeister 등가성이 알고리즘적으로 인식 가능한가?

주요 결과

• 모든 유한 생성 자유-순환군에서 공액 문제가 해결 가능하며, 이는 군이 쌍곡적이거나 자동적이지 않더라도 마찬가지다.
• 존재할 경우 두 군 원소 사이의 공액 원소를 계산하는 효과적인 알고리즘이 제공된다.
• 모든 자동형사상에 대해 유한 생성 자유군에서 비틀림 공액 문제가 해결 가능하며, 이는 문헌에서 열려 있던 질문에 대한 답이다.
• 이러한 군에서 거듭제곱 공액 문제가 해결 가능하며, 비영인 지수와 공액 원소를 결정하는 절차가 존재한다.
• 이 해결책은 마슬라코바의 고정부분군 알고리즘과 브링크만의 자동형사상 거듭제곱에 대한 결정 가능 결과를 조합하여 구성된다.
• 이전의 거의 내부 자동형사상에 대한 연구를 확장하여, 모든 경우에 대해 통일된 해결책을 제공한다.