[논문 리뷰] Free complete Wasserstein algebras

Radu Mardare, Prakash Panangaden외 1명|Strathprints: The University of Strathclyde institutional repository (University of Strathclyde)|2018. 02. 20.

Advanced Banach Space Theory인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 완비 거리 공간 $X$ 위에서 순서 $p \geq 1$의 자유 완비 Wasserstein 대수는 유한한 $p$-차 모멘트를 가진 $X$ 위의 Radon 확률 측도의 공간이며, $W_p$ 거리와 이元 볼록 조합을 갖춘 것으로 규명한다. 이 대수들이 바리센트 공리와 Wasserstein 조건을 만족함을 증명하여, 양적 대수적 프레임워크에서 확률적 선택을 위한 자유 대수로 특징지운다.

ABSTRACT

We present an algebraic account of the Wasserstein distances $W_p$ on complete metric spaces, for $p \geq 1$. This is part of a program of a quantitative algebraic theory of effects in programming languages. In particular, we give axioms, parametric in $p$, for algebras over metric spaces equipped with probabilistic choice operations. The axioms say that the operations form a barycentric algebra and that the metric satisfies a property typical of the Wasserstein distance $W_p$. We show that the free complete such algebra over a complete metric space is that of the Radon probability measures with finite moments of order $p$, equipped with the Wasserstein distance as metric and with the usual binary convex sums as operations.

연구 동기 및 목표

• 완비 거리 공간에서 $p \geq 1$에 대해 Wasserstein 거리 $W_p$의 대수적 특징을 제공하는 것.
• 비확장성 조건을 만족하고 $W_p$-조건을 갖는 이원 볼록 조합(확률적 선택 연산)을 공리화하는 것.
• 유한한 $p$-모멘트를 가진 Radon 확률 측도의 공간이 완비 거리 공간 위에서 자유 완비 Wasserstein 대수를 이룬다는 것을 보여주는 것.
• 표준 거리 공간과 확장된 거리 공간 간의 간극을 양적 대수적 효과 이론에서 메우는 것.
• 바리센트 대수와 볼록 공간 간의 등가성을 $W_p$ 유형 거리로 일반화한 양적 설정으로 확장하는 것.

제안 방법

• 완비 거리 공간 위에서 비확장성 이원 볼록 조합 $x +_r y$ ($r \in [0,1]$)를 갖는 바리센트 대수를 공리화하는 것.
• 순서 $p$의 Wasserstein 조건을 $d\left(\sum r_i x_i, \sum r_i x'_i\right)^p \leq \sum r_i d(x_i, x'_i)^p$로 정의하는 것.
• 완비 거리 공간 $X$ 위에서 유한한 $p$-모멘트를 가진 Radon 확률 측도의 공간이 $W_p$ 거리에 대해 완비임을 증명하는 것.
• Basso의 보조정리를 활용해 일반적인 거리 공간을 분리 가능 지지부를 갖는 것으로 환원함으로써 삼각 부등식 및 완비성 결과의 확장을 가능하게 하는 것.
• 거리 대수의 완비화 정리를 활용해 유한 지지부에서의 자유 바리센트 대수 구축을 전체 $W_p$-완비 공간으로 확장하는 것.
• 자유 Wasserstein 바리센트 대수와 자유 Wasserstein 볼록 공간 간의 등가성을 확립하고, $+_{r}$의 Hölder 연속성에 의해 중점 대수로의 확장을 통해 확장하는 것.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 완비 거리 공간에서 $p \geq 1$에 대해 $W_p$ 거리와 호환되는 확률적 선택 연산을 특징짓는 공리 체계는 무엇인가?
• RQ2 이러한 연산에 대한 자유 완비 대수는 무엇이며, 주어진 완비 거리 공간으로부터 어떻게 구성되는가?
• RQ3 유한한 $p$-모멘트를 가진 Radon 측도 위의 $W_p$ 거리가 바리센트 대수 구조와 완비성과 어떻게 관련되는가?
• RQ4 유한 지지부 측도에서부터의 자유 대수 구축을 전체 $W_p$-완비 Radon 측도 공간으로 확장할 수 있는가?
• RQ5 완비 거리 공간 설정에서 자유 Wasserstein 바리센트 대수와 자유 Wasserstein 중점 대수 간에 등가성이 존재하는가?

주요 결과

• 완비 거리 공간 $X$ 위에서 순서 $p$의 자유 완비 Wasserstein 대수는 유한한 $p$-차 모멘트를 가진 $X$ 위의 Radon 확률 측도의 공간이며, $W_p$ 거리와 이원 볼록 조합을 갖춘다.
• 이 공간은 $W_p$ 거리에 대해 완비이며, $X$가 분리 가능하지 않더라도 유한 지지부 확률 측도로 생성된다.
• $W_p$ 거리는 Radon 측도에 대해 삼각 부등식을 만족하고 유한한 $p$-모멘트를 가진 측도 공간에서 완비이며, 기존 분리 가능 공간 결과를 일반화한다.
• 거리 공간 $X$ 위에서의 자유 바리센트 대수는 $X$ 위의 유한 지지부 확률 측도 공간과 등거리 동형이며, 그 완비화로 전체 $P_p(X)$가 얻어진다.
• $x +_r y$를 이진 근사의 극한으로 정의하는 것은 $r$에 대한 Hölder 연속성 덕분에 잘 정의되어 있으며, 완비성을 보장한다.
• 모든 완비 Wasserstein 중점 대수의 순서 $p$는 유일하게 완비 Wasserstein 바리센트 대수의 순서 $p$로 확장되며, 범주론적 등가성을 확립한다.