[논문 리뷰] Free convex sets defined by rational expressions have LMI representations

J. William Helton, Scott McCullough|arXiv (Cornell University)|2012. 09. 15.

Functional Equations Stability Results참고 문헌 8인용 수 27

한 줄 요약

이 논문은 비가환 변수에서 정의된 대칭 행렬 값 유리 함수에 의해 정의된 자유 볼록 집합이 유계이고 볼록일 경우 선형 행렬 부등식(LMI) 표현을 가짐을 입증한다. 핵심 결과는 기존 다항식 LMI 표현 이론을 유리 함수로 확장하기 위해 서술자 실현과 그 특이점을 분석하여, 최소 서술자 실현을 통해 이러한 볼록 집합이 스펙트라헤드랄임을 증명함으로써 확장된다.

ABSTRACT

Suppose p is a symmetric matrix whose entries are polynomials in freely noncommutating variables and p(0) is positive definite. Let D(p) denote the component of zero of the set of those g-tuples X of symmetric matrices (of the same size) such that p(X) is positive definite. By a previous result of the authors, if D(p) is convex and bounded, then D(p) can be described as the set of all solutions to a linear matrix inequality (LMI). This article extends that result from matrices of polynomials to matrices of rational functions in free variables. As a refinement of a theorem of Kaliuzhnyi-Verbovetskyi and Vinnikov, it is also shown that a minimal symmetric descriptor realization r for a symmetric free matrix-valued rational function R in g freely noncommuting variables precisely encodes the singularities of the rational function. This singularities result is an important ingredient in the proof of the LMI representation theorem stated above.

연구 동기 및 목표

• 비가환 자유 변수에서의 행렬 다항식에서의 LMI 표현 정리가 대칭 행렬 유리 함수로 확장되는 것을 목표로 한다.
• 서술자 실현을 사용하여 대칭 자유 유리 함수의 정의역과 특이점을 특성화하는 것.
• 유계이고 볼록인 자유 집합이 유리 함수로 정의될 경우 스펙트라헤드랄, 즉 선형 행렬 부등식의 해로 표현될 수 있음을 증명하는 것.
• 최소 서술자 실현 이론을 개선하여, 이것이 자유 유리 함수의 모든 특이점을 정확히 캡처함을 보이는 것.

제안 방법

• 논문은 $ g $개의 비가환 변수에서 대칭 자유 유리 함수를 표현하기 위해 $ r(x) = D + C^T(J - L_A(x))^{-1}C $ 형태의 서술자 실현을 사용한다.
• 한계 정의역 $ \text{Domlim}(r,n) $ 은 가역성 집합과 숨겨진 특이점의 합집합으로 정의되며, 제거 가능한 특이점에서의 해석적 계속성을 보장한다.
• 증명은 핵심 특이점 결과에 기반한다: 최소 대칭 서술자 실현은 유리 함수의 모든 특이점, 포함 숨겨진 특이점까지 모두 캡처한다.
• 저자들은 [HM12]의 주요 결과를 적용한다. 이 결과는 행렬 다항식으로 정의된 유계이고 볼록한 자유 집합이 LMI 표현을 가짐을 보여준다.
• 볼록이고 유계인 자유 유리 함수 집합이 대칭 피날레 $ P(x) = J \oplus \tilde{J} - L_{A \oplus \tilde{A}}(x) $ 의 가역성 집합의 영성분과 같음을 보여, LMI 표현이 확립된다.
• 경로 끌림 추론과 모순을 이용하여, 볼록성이 숨겨진 특이점이 정의역에 존재하지 않음을 보이고, 이로써 집합이 스펙트라헤드론임을 보장한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 비가환 변수에서의 유리 표현으로 정의된 자유 볼록 집합은 선형 행렬 부등식(LMI)으로 표현될 수 있는가?
• RQ2 특이점, 특히 숨겨진 특이점은 자유 유리 함수의 정의역에 어떻게 영향을 미치는가?
• RQ3 대칭 자유 유리 함수의 최소 서술자 실현은 그 특이점을 완전히 캡처하는가?
• RQ4 자유 유리 함수 집합의 볼록성이 스펙트라헤드론임을 보장하는 조건은 무엇인가?
• RQ5 다항식 기반 자유 볼록 집합의 LMI 표현 결과를 유리 함수로 확장할 수 있는가?

주요 결과

• 비가환 자유 변수 $ g $개에서 정의된 대칭 행렬 값 유리 함수로 정의된 자유 볼록 집합이 유계이고 볼록일 경우 선형 행렬 부등식(LMI) 표현을 가진다.
• 대칭 피날레 $ P(x) = J \oplus \tilde{J} - L_{A \oplus \tilde{A}}(x) $ 의 가역성 집합의 영성분은 자유 유리 함수 집합 $ \mathfrak{P}_r(n) $ 과 같으며, 이는 그 스펙트라헤드랄 성격을 증명한다.
• 최소 대칭 서술자 실현은 대칭 자유 유리 함수의 모든 특이점, 포함 원래 표현에서 보이지 않는 숨겨진 특이점까지 정확히 캡처한다.
• 자유 유리 함수 집합 $ \mathfrak{P}_r $ 의 볼록성은 그 안에 숨겨진 특이점이 존재하지 않음을 의미하며, 이는 원점에서의 해석적 계속성을 보장한다.
• 증명은 $ \mathfrak{P}_r = \mathcal{D}_{I - L_A(x)} $ 를 만족하는 어떤 단위 아핀 선형 피날레 $ I - L_A(x) $ 가 존재함을 보여, LMI 표현을 확인한다.
• 이 결과는 [HM12] 정리의 다항식에서의 결과를 유리 함수로 일반화하여, LMI 표현을 가진 자유 볼록 집합의 범주를 크게 확장한다.