[논문 리뷰] Free Fractions: An Invitation to (applied) Free Fields

Konrad Schrempf|arXiv (Cornell University)|2018. 09. 14.

Computability, Logic, AI Algorithms참고 문헌 12인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 비가환 유리 함수—자유 분수—를 다루기 위한 계산 프레임워크를 제시한다. 이 프레임워크는 적합한 선형 시스템(ADS)을 표현 수단으로 사용하며, 덧셈, 곱셈, 역행렬, 최소화 알고리즘을 도입하여 자유 필드 내에서 효과적인 조작과 동치성 테스트를 가능하게 한다. 주요 기여는 비가환 유리 함수의 단어 문제에 대한 실용적이고 알고리즘적인 접근법을 제공하는 것이다.

ABSTRACT

Long before we learn to construct the field of rational numbers (out of the ring of integers) at university, we learn how to calculate with fractions at school. When it comes to "numbers", we are used to a commutative multiplication, for example 2*3=6=3*2. On the other hand --even before we can write-- we learn to talk (in a language) using words, consisting of purely non-commuting "letters" (or symbols), for example "xy" is not equal to "yx" (with the concatenation as multiplication). Now, if we combine numbers (from a field) with words (from the free monoid of an alphabet) we get non-commutative polynomials which form a ring (with "natural" addition and multiplication), namely the free associative algebra. Adding or multiplying polynomials is easy, for example (2/3*xy+z)+1/3*xy=xy+z or 2*x(yx+3*z)=2*xyx+6*xz. Although the integers and the non-commutative polynomials look rather different, they share many properties, for example the unique number of irreducible factors: x(1-yx)=x-xyx=(1-xy)x. However, the construction of the universal field of fractions (aka "free field") of the free associative algebra is highly non-trivial (but really beautiful). Therefore we provide techniques (building on the work of Cohn and Reutenauer) to calculate with free fractions (representing elements in the free field or "skew field of non-commutative rational functions") to be able to explore a fascinating non-commutative world.

연구 동기 및 목표

• 응용 연구자들과 기계 대수 시스템 사용자를 대상으로 자유 필드와 비가환 유리 함수에 대한 실용적이고 접근 가능한 소개를 제공하는 것.
• 자유 필드 내에서의 단어 문제에 도전하기 위해 자유 분수 간 동치성 테스트를 위한 알고리즘 기법을 개발하는 것.
• 비가환 유리 함수의 선형 표현을 최소화하는 체계적인 방법을 제시하여 표준형을 보장하는 것.
• 코른과 루텐아우어 이론에 기반한 구조화된 알고리즘을 통해 기계 대수 시스템 내 구현을 가능하게 하는 것.
• 비가환 유리 함수에 대한 추상 대수적 구성과 구체적인 계산 도구 사이의 격차를 메우는 것.

제안 방법

• 역행렬이 존재하는 $ A $를 가진 선형 시스템 $ As = v $를 통해 자유 필드의 원소를 표현하며, 이는 유리 함수를 인코딩한다.
• 피벗 블록을 포함한 블록 구조의 ALS 행렬을 사용하여 비가환 유리 표현식을 인코딩하고 산술 연산을 가능하게 한다.
• 선형적으로 종속된 성분을 제거하고 시스템 크기를 줄이기 위해 역행렬 변환 $ (P, Q) $ 를 이용한 좌측 및 우측 최소화 단계를 적용한다.
• 두 단계 최소화 알고리즘을 적용: 먼저 $ s $ 의 좌측 가족에 대해 선형 종속성을 검사하고, 그 다음 $ t $ 의 우측 가족에 대해 검사하며, 정확성을 보장하기 위해 카운터를 업데이트한다.
• 유리 함수의 대표자로 해 벡터 $ s_1 $ 의 첫 번째 성분을 사용하며, $ s_1 = u^T A^{-1} v $ 로 표현되며, 여기서 $ u = e_1^T $ 이다.
• 이전 알고리즘의 결함을 수정하기 위해, 성공적인 좌측 최소화 후 $ k = m > 2 $ 인 경우 카운터 $ k $ 를 감소시켜 최소성 보장을 보장한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 비가환 유리 함수는 어떻게 알고리즘적 계산에 적합한 방식으로 효과적으로 표현하고 조작할 수 있는가?
• RQ2 비가환 유리 함수의 최소 선형 표현은 무엇이며, 어떻게 알고리즘적으로 계산할 수 있는가?
• RQ3 두 자유 분수가 동일한 원소를 나타내는지 확인하는 단어 문제는 어떻게 효율적으로 해결할 수 있는가?
• RQ4 기존 최소화 알고리즘에 어떤 수정이 가해져야 모든 경우에 정확성과 최소성이 보장되는가?
• RQ5 자유 필드 이론은 어떻게 기계 대수 시스템에 접근 가능하고 구현 가능한 방식으로 만들 수 있는가?

주요 결과

• 논문은 적합한 선형 시스템의 최소화를 위한 정확하고 완전한 알고리즘을 확립하였으며, 이전 작업에서 최소성 보장이 어려웠던 귀두 케이스를 수정하였다.
• $ ff^{-1} = 1 $ 의 최소 ALS 는 $ (1, [1], 1) $ 으로 확인되었으며, 최소화 과정의 정확성을 확인한다.
• 변환 $ (P, Q) $ 는 종속된 성분을 제거하고 시스템 크기를 줄일 수 있으며, 첫 번째 성분 $ s_1 $ 의 값은 유지된다.
• 좌측 가족 $ s $ 는 $ t^T A = 0 $ 에 대한 비자명한 해가 존재할 경우 $ bK $-선형 종속이다. 이는 선형 시스템을 풀어 검증한다.
• 우측 가족 $ t $ 는 $ A^T t = 0 $ 에 해가 존재할 경우 $ bK $-선형 종속이다. 동일한 테스트를 전치 시스템에 적용한다.
• FDALG 패키지(1.3.5 릴리스 이후)에 구현된 알고리즘은 기계 대수 시스템에 통합 가능한 가능성을 보여준다.