[논문 리뷰] Free group $C^*$-algebras associated with $\ell_p$

Rui Okayasu|arXiv (Cornell University)|2012. 03. 05.

Advanced Operator Algebra Research참고 문헌 6인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 자유군 위에서의 양의 정부호 함수에 대한 Haagerup의 특성화를 $p \geq 2$ 인 $\ell_p$에 기반한 $C^*$-대수로 일반화하며, 이러한 대수들이 상호 비이sov모르이며 각각 고유한 추적 상태를 갖는다는 것을 보여준다. 특성화의 핵심은 $\ell_p$-노름에서의 양의 정부호 함수의 붕괴 속도에 기반하며, 이는 기존의 축소된 군 $C^*$-대수($p=2$)의 결과를 확장하고 $D_p^\pm$-완비화와의 동형을 확립한다.

ABSTRACT

For every $p\geq 2$, we give a characterization of positive definite functions on a free group with finitely many generators, which can be extended to the positive linear functionals on the free group $C^*$-algebra associated with the ideal $\ell_p$. This is a generalization of Haagerup's characterization for the case of the reduced free group $C^*$-algebra. As a consequence, the associated $C^*$-algebras are mutually non-isomorphic, and they have a unique tracial state.

연구 동기 및 목표

• 자유군 위에서의 양의 정부호 함수에 대한 Haagerup의 특성화를 $p \geq 2$ 인 $C^*$-대수 $C^*_{\ell_p}(\mathbb{F}_d)$로 확장하여, 축소된 군 $C^*$-대수($p=2$)에 대한 기존 결과를 일반화한다.
• 모든 $p \geq 2$ 에 대해 $C^*_{\ell_p}(\mathbb{F}_d)$ 대수들이 상호 비이sov모르다는 것을 증명한다.
• $p \in [2, \infty)$ 인 각 $C^*_{\ell_p}(\mathbb{F}_d)$ 대수가 고유한 추적 상태를 갖는다는 것을 증명한다.
• $C^*$-대수 $C^*_{D_p^\pm}(\mathbb{F}_d)$에 대응하는 이상과 $\ell_p(\Gamma)$에 대응하는 이상에 대응하는 $C^*$-대수가 일치함을 보여준다.

제안 방법

• 자유군 $\mathbb{F}_d$ 위에서의 양의 정부호 함수에 대해, $C^*_{\ell_p}(\mathbb{F}_d)$ 위에 정의된 양의 선형 함수로 연장 가능한지를 결정하는 특성화를 도입하며, 이는 $\ell_p$-노름에서의 붕괴 조건을 사용한다.
• Hölder 부등식과 자유군 내 공轭류의 성장률에 대한 추정을 적용하여, 양의 정부호 함수의 $\ell_p$-노름을 유계로 제한한다.
• 자유군 $\mathbb{F}_d$의 단어 길이와 공轭류의 구조를 이용하여, 비자명한 공轭류 $K$에 대해 $W_{k+2n} \cap K$ 내 원소의 수에 하한을 도출하며, 이는 지수적 성장을 보임을 보여준다.
• $p$에서 위 또는 아래로 수렴하는 $q$에 대해 $\ell_q$-함수를 이용한 $\ell_p$-함수의 근사화를 통해 $C^*_{\ell_p}(\mathbb{F}_d)$와 $C^*_{D_p^\pm}(\mathbb{F}_d)$ 사이의 동형을 확립한다.
• $\beta \to 1$ 일 때 근사 함수형 $\varphi\varphi_\beta$ 가 $\varphi$ 로 약한-* 수렴함을 이용하여, 이로 인해 $C^*_{\ell_p}$-함수형으로의 연장이 보장됨을 보인다.
• Brown와 Guentner의 결과를 활용하여 $\ell_\infty(\Gamma)$ 내 이상을 통한 $C^*$-완비화에 관해 알려진 결과를 활용하며, 특히 약화 가능성과 Haagerup 성질의 특성화를 포함한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 자유군 $\mathbb{F}_d$ 위의 어떤 양의 정부호 함수들이 $p \geq 2$ 인 $C^*$-대수 $C^*_{\ell_p}(\mathbb{F}_d)$ 위의 양의 선형 함수형으로 연장될 수 있는가?
• RQ2 $p \in [2, \infty]$ 인 $C^*_{\ell_p}(\mathbb{F}_d)$ 대수들이 상호 비이sov모르는가?
• RQ3 $p \in [2, \infty)$ 인 각 $C^*_{\ell_p}(\mathbb{F}_d)$ 대수가 고유한 추적 상태를 갖는가?
• RQ4 $D_p^\pm(\Gamma) = \bigcap_{\varepsilon>0} \ell_{p+\varepsilon}(\Gamma)$ 및 $\bigcup_{\varepsilon>0} \ell_{p-\varepsilon}(\Gamma)$ 이상에 대응하는 $C^*$-대수와 $\ell_p(\Gamma)$에 대응하는 이상에 대응하는 $C^*$-대수 사이의 관계는 어떠한가?

주요 결과

• 모든 $p \geq 2$ 에 대해 $C^*_{\ell_p}(\mathbb{F}_d)$ 는 $C^*_{D_p^+}(\mathbb{F}_d)$ 와 동형이며, 여기서 $D_p^+(\Gamma) = \bigcap_{\varepsilon>0} \ell_{p+\varepsilon}(\Gamma)$ 이다. 이는 지수 $p$ 이상에서의 작은 변화에 대해 완비화가 안정적임을 보여준다.
• 모든 $p > 2$ 에 대해 $C^*_{\ell_p}(\mathbb{F}_d)$ 는 $C^*_{D_p^-}(\mathbb{F}_d)$ 와 동형이며, 여기서 $D_p^-(\Gamma) = \bigcup_{\varepsilon>0} \ell_{p-\varepsilon}(\Gamma)$ 이다. 이는 지수 $p$ 이하에서의 작은 감소에 대해 완비화가 안정적임을 나타낸다.
• $p \in [2, \infty]$ 인 $C^*_{\ell_p}(\mathbb{F}_d)$ 대수들은 상호 비이sov모르며, 이는 양의 정부호 함수가 $C^*_{\ell_p}$-함수형으로 연장되기 위해 요구되는 서로 다른 붕괴 조건에 의해 입증된다.
• $p \in [2, \infty)$ 인 각 $C^*_{\ell_p}(\mathbb{F}_d)$ 는 고유한 추적 상태를 갖는다. 이는 임의의 추적 상태가 공轭류 위에서 일정한 양의 정부호 함수에 대응하며, 이 함수가 $\ell_p$ 내에 존재하려면 영함수여야 하며, 정규화 조건과 모순되기 때문이다.
• 전체 군 $C^*$-대수 $C^*(\mathbb{F}_d)$ 는 $C^*_{D_\infty^-}(\mathbb{F}_d)$ 와 동형이며, 여기서 $D_\infty^-(\Gamma) = \bigcup_{\varepsilon>0} \ell_{\infty - \varepsilon}(\Gamma)$ 이다. 이는 기존의 동형 $C^*_{\lambda}(\mathbb{F}_d) = C^*_{D_2^+}(\mathbb{F}_d)$ 를 일반화한 결과이다.
• 자유군 $\mathbb{F}_d$ 위에서 $C^*_{\ell_p}(\mathbb{F}_d)$ 로 연장 가능한 양의 정부호 함수의 특성화는 $p=2$ 에서의 Haagerup 결과를 엄밀히 일반화하며, $\varphi \in \ell_p$ 를 만족하기 위해 필수적이고 충분한 붕괴 속도 조건 $|\varphi(s)| \lesssim \alpha^{|s|}$ 는 $\alpha < (2d-1)^{-1/p}$ 를 만족해야 한다.