[논문 리뷰] Free quasi-symmetric functions of arbitrary level

Jean-Christophe Novelli, Jean‐Yves Thibon|ArXiv.org|2004. 05. 31.

Advanced Combinatorial Mathematics참고 문헌 13인용 수 21

한 줄 요약

이 논문은 $l$-색상 칠해진 순열로 색인된 기저를 사용하여 자유 준대칭 함수의 수준-$l$ 일반화인 ${\bf FQSym}^{(l)}$를 제안한다. 색상 칠해진 조합 구조와 다이크 단어 분해를 통해, 색상 칠해진 주차 함수, $B$ 유형의 비교합 분할, 와이어드 프로덕트의 내림차순 대수에 대한 호프 대수를 구축하며, 고전적인 구조를 일반화하여 ${\bf FQSym}$, ${\bf PQSym}$ 및 관련 대수의 수준-$l$ 일반화를 위한 통합 프레임워크를 제공하고, 명시적인 코프로덕트와 쌍대성 관계를 포함한다.

ABSTRACT

We introduce analogues of the Hopf algebra of Free quasi-symmetric functions with bases labelled by colored permutations. As applications, we recover in a simple way the descent algebras associated with wreath products $Γ\wr\SG_n$ and the corresponding generalizations of quasi-symmetric functions. Also, we obtain Hopf algebras of colored parking functions, colored non-crossing partitions and parking functions of type $B$.

연구 동기 및 목표

• 수준 $l$에 대한 자유 준대칭 대수 ${\bf FQSym}$를 $l$-색상 칠해진 순열을 기저로 사용하여 일반화한다.
• 와이어드 프로덕트 $\Gamma \wr \mathfrak{S}_n$의 내림차순 대수를 수준-$l$ 구조를 통해 복원하고 통합한다.
• 색상 칠해진 조합 구조를 사용하여 색상 칠해진 주차 함수와 $B$ 유형의 비교합 분할에 대한 새로운 호프 대수를 정의한다.
• 수준-$l$ 설정에서 쌍대성과 내부 곱의 구조를 확립하여 솔로몬의 내림차순 대수와 풀리에의 준대칭 함수를 일반화한다.

제안 방법

• 색상 칠해진 순열을 $\sigma \in \mathfrak{S}_n$ 및 $u \in C^n$인 쌍 $(\sigma, u)$로 정의하며, 여기서 $C = \{0, \dots, l-1\}$이다.
• 자기 쌍대 자유 $l$-준리본 ${\bf G}_{\sigma,u}$를 $A^n$ 내의 모든 단어의 합으로 정의한다. 여기서 표준형이 $(\sigma, u)$인 단어들이다. $A = B \times C$이고 $B = \{1, \dots, N\}$이다.
• 곱셈을 컨볼루션 곱 $\sigma' * \sigma''$를 통해 정의하여 $\mathbf{G}_{\sigma',u'} \mathbf{G}_{\sigma'',u''} = \sum_{\sigma \in \sigma' * \sigma''} \mathbf{G}_{\sigma, u' \cdot u''}$를 확보한다.
• 코프로덕트 $\Delta \mathbf{G}_{\sigma,u} = \sum_{i=0}^n \mathbf{G}_{(\sigma,u)_{[1,i]}} \otimes \mathbf{G}_{(\sigma,u)_{[i+1,n]}}$로 정의하여 ${\bf FQSym}^{(l)}$가 등급을 가진 비알제브라가 되도록 한다.
• 색상 칠해진 주차 함수로 색인된 호프 대수 ${\bf PQSym}^{(l)}$를 구축하며, ${\bf PQSym}$와 유사하게 곱셈과 코프로덕트를 정의하고, 부분단어의 파크라이제이션을 사용한다.
• 비감소 주차 함수와 다이크 단어 사이의 대응을 $B$ 유형의 비교합 분할로 확장하기 위해 각 주요 다이크 요소에 $l$개의 색상을 할당하여 생성함수 $\frac{1}{1 - l \frac{1 - \sqrt{1 - 4t}}{2}}$를 도출한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 어떻게 색상 칠해진 순열을 사용하여 호프 대수 ${\bf FQSym}$를 임의의 수준 $l$으로 일반화할 수 있는가?
• RQ2 와이어드 프로덕트 $\Gamma \wr \mathfrak{S}_n$의 내림차순 대수의 수준-$l$ 설정에서의 구조는 어떠한가?
• RQ3 색상 칠해진 주차 함수와 $B$ 유형의 비교합 분할에 대해 호프 대수의 구조를 정의할 수 있는가?
• RQ4 수준-$l$ 일반화된 ${\bf FQSym}$, ${\bf PQSym}$, ${\bf Sym}^{(l)}$는 쌍대성과 내부 곱을 통해 어떻게 관련되어 있는가?
• RQ5 수준-$l$ $B$ 유형의 비교합 분할의 수를 위한 생성함수는 무엇인가?

주요 결과

• ${\bf FQSym}^{(l)}$는 $l$-색상 칠해진 순열로 색인된 등급을 가진 호프 대수이며, 표준형과 파크라이제이션을 통한 곱셈과 코프로덕트에 대해 닫혀 있다.
• ${\bf Sym}^{(l)}$는 ${\bf FQSym}^{(l)}$의 호프 부분대수로서 풀리에의 준대칭 함수와 쌍대이며, 만타시-루텐아우어 내림차순 대수와 동형인 내부 곱을 지원한다.
• ${\bf PQSym}^{(l)}$는 색상 칠해진 주차 함수로 색인된 호프 대수로서 크기가 $n$인 원소가 $l^n (n+1)^{n-1}$개이며, 코프로덕트를 통해 등급을 가진 비알제브라이자 따라서 호프 대수임을 보장한다.
• ${\bf PQSym}^{(2)}$의 수준-2 주차 함수로의 제한은 호프 부분대수를 이룬다. 이는 $B$ 유형의 주차 함수에 자연스러운 대수적 구조를 제공한다.
• $B$ 유형의 비교합 분할은 색상 칠해진 다이크 단어로 표현되며, 각 주요 다이크 요소가 $l$개의 색상 중 하나를 선택한다. 이에 따라 생성함수 $\frac{1}{1 - l \frac{1 - \sqrt{1 - 4t}}{2}}$를 도출할 수 있다.
• $l=3$일 경우 생성함수는 OEIS의 수열 A007854와 일치하여, 수준-$l$ 비교합 분할의 조합적 해석이 확인된다.