[논문 리뷰] Free subalgebras of division algebras over uncountable fields

Jason P. Bell, D. Rogalski|arXiv (Cornell University)|2011. 11. 30.

Algebraic Geometry and Number Theory참고 문헌 13인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 임의의 가산적이지 않은 대수적으로 닫힌 체에서의 분할 대수에서, 모든 최대부분체 위에서 왼쪽 대수적일 경우를 제외하고는 두 생성자를 가진 자유 k-대수를 포함함을 증명한다. 핵심 결과는 GK차원이 3보다 작은 유한 생성 도메인 중 다항식 항등식을 만족하지 않는 경우, 그 몫 분할 대수는 이러한 자유 부분대수를 포함해야 한다는 것으로, 저GK차원 환경에서 자유 부분대수 추측의 주요 케이스를 해결한다.

ABSTRACT

We study the existence of free subalgebras in division algebras, and prove the following general result: if $A$ is a noetherian domain which is countably generated over an uncountable algebraically closed field $k$ of characteristic 0, then either the quotient division algebra of $A$ contains a free algebra on two generators, or it is left algebraic over every maximal subfield. As an application, we prove that if $k$ is an uncountable algebraically closed field and $A$ is a finitely generated $k$-algebra that is a domain of GK-dimension strictly less than 3, then either $A$ satisfies a polynomial identity, or the quotient division algebra of $A$ contains a free $k$-algebra on two generators.

연구 동기 및 목표

• 가산적이지 않은 대수적으로 닫힌 체에서의 GK차원이 3보다 작은 도메인에 대해 자유 부분대수 추측을 해결하기 위해.
• 중심화자와 대수성 조건을 이용해 분할 대수가 두 생성자를 가진 자유 k-대수를 포함하는지 여부를 판단하는 기준을 설정하기 위해.
• 자유 부분대수가 존재하지 않음을 의미하는 것은 모든 최대부분체 위에서의 대수성임을 보여주며, Kurosh 문제와 PI 조건과 연결하기 위해.
• 이전의 오어 확장과 와일 대수에 대한 결과를 더 넓은 노에테르 도메인의 범주로 확장하기 위해.
• 특히 저GK차원에서 유한 생성 도메인의 몫 분할 대수가 자유 부분대수를 포함하는 깔끔하고 일반적인 조건을 제공하기 위해.

제안 방법

• 이전 연구에서 유래한 기준(보조정리 4.9)을 사용하여, 분할 대수 D가 비영인 원소 a의 중심화자 위에서 왼쪽 또는 오른쪽 대수적이지 않다면, 두 생성자를 가진 자유 k-대수를 포함한다.
• 핵심 기술 도구로, 비가산 체 위에서는 D가 자유 부분대수를 포함하는 것과 D(t)가 자유 부분대수를 포함하는 것이 동치임을 적용한다. 여기서 t는 교환 가능한 미지수이다.
• GK차원의 추론을 통해 대수성을 배제한다: Q(A)가 k(x) 위에서 대수적이라면, dim_k(U^{2n})의 성장률이 너무 빠르게 증가하여 GKdim < 3와 모순된다.
• D(t)가 E(t) = C(x; D(t)) 위에서 대수적이지 않다면, D(t)는 추이수 차수 2인 체 위에서 유한 차원이 되며, 따라서 PI가 되어야 하는데, 이는 비-PI 조건과 모순된다.
• 양의 특성에서의 와일 대수에 대한 결과를 적용한다: xux⁻¹ = u+1 이면, x와 u가 생성하는 부분대수는 와일 대수와 동형이며, 이는 Q(A)가 Q(R) 위에서 유한 차원이 되고, 따라서 PI임을 의미한다.
• 레마 3.5를 사용해 D(t)에서의 대수성을 D로 이전하고, 레마 2.8을 사용해 D와 D(t)의 중심화자 간의 관계를 연결한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 가산적이지 않은 체 위의 노에테르 도메인의 몰입 분할 대수가 두 생성자를 가진 자유 k-대수를 포함하는 조건은 무엇인가?
• RQ2 GK차원이 3보다 작은 도메인에 대해 자유 부분대수 추측을 검증할 수 있는가?
• RQ3 자유 부분대수의 존재를 방해하는 중심화자 및 최대부분체 위의 대수성의 역할은 무엇인가?
• RQ4 양의 특성에서, xux⁻¹ = u+1의 해가 존재하지 않으면 Q(A)가 PI가 아님을 보장할 수 있는가?
• RQ5 기저 체의 비가산성은 D와 D(t) 사이의 더 강력한 전이 결과를 가능하게 하는가?

주요 결과

• 만약 A가 특성 0의 비가산 대수적으로 닫힌 체 k 위의 가산적으로 생성된 노에테르 도메인이면, Q(A)는 두 생성자를 가진 자유 k-대수를 포함하거나, 모든 최대부분체 위에서 왼쪽 대수적이어야 한다.
• 유한 생성 k-대수 A의 경우, GK차원이 3보다 작고 다항식 항등식을 만족하지 않으면, Q(A)는 두 생성자를 가진 자유 k-대수를 포함한다.
• 양의 특성에서 동일한 결론이 성립하며, 임의의 초월적 x ∈ A에 대해 xux⁻¹ = u+1 를 만족하는 u가 존재하지 않는 한 성립한다.
• 와일 대수의 경우 특수한 케이스로 복원된다: 그 몰입 분할 대수는 자유 부분대수를 포함하며, 마카르-리만노프의 원래 결과와 일치한다.
• GK차원 < 3인 도메인 A가 PI가 아니면, 그 몰입 분할 대수는 어떤 최대부분체 위에서도 대수적이 될 수 없으며, 따라서 반드시 자유 부분대수를 포함해야 한다.
• 증명은 k(x) 위에서의 대수성 가정이 성장률에서 모순을 일으킴을 보여주며, dim_k(U^{2n})이 적어도 (n+2 choose 2)·n의 속도로 증가하여 GKdim < 3를 위반한다.