[논문 리뷰] Free Subshifts with Invariant Measures from the Lovász Local Lemma

Anton Bernshteyn|arXiv (Cornell University)|2017. 02. 09.

Cellular Automata and Applications참고 문헌 4인용 수 6

한 줄 요약

이 논문은 가측성 로바슈 국소 레미의 정리를 사용하여, 모든 가산 무한군이 이진 알파벳 {0,1}^Γ 상의 자유 부분행렬을 지닌 불변 확률 측도를 지닌다는 간결한 증명을 제시한다. 이 구성은 그러한 부분행렬이 임의의 공백이 아닌 불변 열린 집합 내에 존재하도록 보장하며, 주어진 적절한 부분행렬을 피함으로써, 확률적 조합론을 통한 불변 측도의 구성에 있어 강력하고 일반적인 방법을 제공한다.

ABSTRACT

Gao, Jackson, and Seward (see arXiv:1201.0513) proved that every countably infinite group $Γ$ admits a nonempty free subshift $X \subseteq \{0,1\}^Γ$. Furthermore, a theorem of Seward and Tucker-Drob (see arXiv:1402.4184) implies that every countably infinite group $Γ$ admits a free subshift $X \subseteq \{0,1\}^Γ$ that supports an invariant probability measure. Aubrun, Barbieri, and Thomassé (see arXiv:1507.03369) used the Lovász Local Lemma to give a short alternative proof of the Gao--Jackson--Seward theorem. Recently, Elek (see arXiv:1702.01631) followed another approach involving the Lovász Local Lemma to obtain a different proof of the existence of free subshifts with invariant probability measures for finitely generated sofic groups. Using the measurable version of the Lovász Local Lemma for shift actions established by the author (see arXiv:1604.07349), we give a short alternative proof of the existence of such subshifts for arbitrary groups. Moreover, we can find such subshifts in any nonempty invariant open set.

연구 동기 및 목표

• 임의의 가산 무한군에 대해 자유 부분행렬과 불변 확률 측도의 존재성을 일반적이고 간결한 증명으로 제시하는 것.
• 로바슈 국소 레미의 정리를 통해 아브룬-바르비에-톰라스 증명을 확장하여 불변 측도를 포함하는 것.
• 주어진 적절한 부분행렬과는 서로소인 방식으로 이러한 부분행렬을 구성할 수 있음을 보여주는 것.
• {0,1}^Γ의 임의의 공백이 아닌 불변 열린 부분집합에서도 이 방법이 작동함을 보여주는 것.
• 이동 작용에 대해 가측 버전의 LLL를 활용하여 동시에 불변성과 자유성을 확보하는 것.

제안 방법

• 이동 작용에 대해 {0,1}^Γ 상의 가측성 로바슈 국소 레미의 정리(mLLL)를 적용하여 제약 조건 시스템의 해를 구성하는 것.
• 군 Γ 상에서 LLL의 인스턴스 B를 정의하며, 적절한 부분행렬 Y의 제약 조건과 비자명한 군 원소들로부터 자유성을 강제하는 제약 조건을 통합하는 것.
• 유한 도메인 S ∈ dom(B)에 확률 p(S)를 할당하여, LLL 조건 (2.1)이 성립하도록 정확한 인스턴스 B를 구성하는 것.
• 두 부분 확률 할당을 사용: 기본 제약 조건 집합 B₀에 대해 1/k²N², 군 원소 γₙ로부터의 제약 조건에 대해 aⁿ⁺ᴹ.
• 큰 N과 M을 선택하고 무한 곱의 수렴성을 이용하여 LLL 부등식 내의 곱 항이 충분히 감쇠하도록 보장하는 것.
• 해 집합 Sol(B)이 비어 있지 않고, 닫혀 있으며, 불변적이며, 자유적임을 확인하는 것.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 모든 가산 무한군에 대해 확률적 방법을 통해 자유 부분행렬과 불변 측도의 존재성을 균일하게 증명할 수 있는가?
• RQ2 임의의 공백이 아닌 불변 열린 부분집합 {0,1}^Γ 내에서 이러한 부분행렬을 구성할 수 있는가?
• RQ3 불변성과 자유성을 유지하면서 주어진 적절한 부분행렬을 피할 수 있는가?
• RQ4 가측성 LLL를 이동 작용에 효과적으로 적용하여 동시에 측도 불변성과 자유성을 보장할 수 있는가?
• RQ5 무한 군 설정에서 LLL 조건이 만족되도록 하기 위한 확률 할당의 조건은 무엇인가?

주요 결과

• 논문은 임의의 가산 무한군 Γ에 대해, 닫혀 있고, 불변적이며, 자유적인 부분행렬 X ⊆ {0,1}^Γ가 존재하며, 이는 불변 확률 측도를 지닌다는 것을 입증한다.
• 이러한 부분행렬은 {0,1}^Γ의 임의의 공백이 아닌 불변 열린 부분집합 내에서 구성될 수 있어 강력한 위상 유연성을 보장한다.
• 구성은 주어진 적절한 부분행렬 Y ⊊ {0,1}^Γ를 명시적으로 피함으로써, 자유 불변 부분행렬이 그러한 적절한 부분집합 외부에도 존재함을 보여준다.
• LLL의 정확한 인스턴스는 모든 유한 도메인에 대해 LLL 조건 (2.1)을 만족하는 적절히 선택된 확률 할당 p(S)에 의존한다.
• LLL 부등식이 무한 곱의 감쇠 제어를 통해 만족됨으로써, 해 집합 Sol(B)이 비어 있지 않고, 닫혀 있으며, 불변적이며, 자유적임을 보장한다.
• 아브룬, 바르비에, 톰라스 및 엘렉의 이전 구성들을 일반화하며, 모든 가산 군에 걸쳐 자유 부분행렬에 대한 불변 측도의 존재를 통합한다.