[논문 리뷰] Freeness alone is insufficient for Manin-Peyre

Will Sawin|arXiv (Cornell University)|2020. 01. 16.

Advanced Algebra and Geometry참고 문헌 8인용 수 9

한 줄 요약

이 논문은 단지 자유도(freeness)만으로는 Manin-Peyre 추측에서 얇은 집합(thin set)을 대체할 수 없음을 보여준다. Hilbert 스킴 $\operatorname{Hilb}^2(\mathbb{P}^n)$를 사용하여, 이중 쌍대 덮개로부터 유도된 표준적인 얇은 집합 내의 유리점들이 높은 자유도를 가질 수 있음을 보이며, 이는 Peyre의 제안인 '자유도 $> \epsilon(H(x))$인 점들만으로도 예외 집합을 제거하는 데 충분하다'는 주장에 반박이 된다.

ABSTRACT

Manin's conjecture predicts the number of rational points of bounded height on a Fano variety. To make this prediction precise, it is necessary to remove a thin subset of rational points. Peyre has tentatively proposed replacing this subset by the set of points where a certain freeness function he defined takes small values. We show that this proposal fails in the case of $\operatorname{Hilb}^2(\mathbb P^n)$, because the usual thin subset, consisting of rational points that lift to a certain double cover, contains many points with relatively large freeness.

연구 동기 및 목표

• Peyre의 제안, 즉 자유도 $> \epsilon(H(x))$가 Manin-Peyre 추측에서 얇은 집합을 제거하는 데 충분할 수 있다는 것을 시험하기 위해.
• 이중 쌍대 덮개로부터 유도된 표준적인 얇은 집합 내의 유리점들이 여전히 높은 자유도 값을 가질 수 있는지 조사하기 위해.
• Manin-Peyre 추측에서 예외 집합을 정의하는 데 자유도만으로 충분한지 여부에 대한 반례를 제시하기 위해.
• 자유도를 얇은 집합의 대체로 사용할 때의 기하학적 및 산술적 한계를 명확히 하기 위해.

제안 방법

• 체 $\mathbb{Q}$ 위에서의 Hilbert 스킴 $X = \operatorname{Hilb}^2(\mathbb{P}^n)$를 구성하며, $n > 2$일 때 이는 매끄럽고, 사영적이며, Fano이며, Picard 계수 2를 가진다.
• 이중 쌍대 덮개 $f: \operatorname{Bl}_\Delta(\mathbb{P}^n \times \mathbb{P}^n) \to X$를 정의하며, 그 이미지는 $\operatorname{Hilb}^2(\mathbb{P}^n)$의 유리점에 대한 얇은 집합을 정의한다.
• Bost-Peyre 격자 불변량과 반대극성 높이를 바탕으로, 점 $x$에서의 탄성 격자의 기울기를 사용해 자유도 함수 $l(x)$를 정의한다.
• $\mathbb{P}^n \times \mathbb{P}^n$ 위의 유리점들로 구성된 집합 $S_{C,\delta}$를 거리와 높이 조건이 유계인 조건으로 구성하고, 이들을 이중 쌍대 덮개를 통해 $X$로 올린다.
• $S_{C,\delta}$에 속한 점들이 최소 $\frac{2\delta n}{n+1} - o_h(1)$의 자유도를 가지며, 이는 $\delta$를 $1/2$에 가까이 설정함으로써 $\frac{2n}{n+1}$에 임의로 가까워질 수 있음을 증명한다. 이는 얇은 집합 내에 있음에도 불구하고 매우 자유로운 점들이 존재함을 보여준다.
• 높이가 $B$ 이하인 이러한 점들의 수가 $\gg B \log B$임을 확립함으로써, 이 집합이 크고 무시할 수 없음을 보여준다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 자유도 $> \epsilon(H(x))$인 점들의 집합이 Manin-Peyre 추측에서 올바른 예외 집합을 포괄할 수 있는가?
• RQ2 이중 쌍대 덮개로부터 유도된 표준적인 얇은 집합 내의 점들 $\operatorname{Hilb}^2(\mathbb{P}^n)$이 반드시 낮은 자유도를 가질까?
• RQ3 얇은 집합 내에서 밀도가 양수이고 크기가 큰 유리점의 부분집합이 여전히 높은 자유도를 가질 수 있는가?
• RQ4 자유도 함수가 Fano 다양체에서 산술적 또는 기하학적 예외 행동을 탐지하지 못하는가?
• RQ5 기하학적으로 정의된 얇은 집합 내에 자유도가 0에서 멀리 떨어진 점들이 존재할 수 있는가?

주요 결과

• $\mathbb{P}^n \times \mathbb{P}^n$ 위의 유리점들로 구성된 집합 $S_{C,\delta}$는 거리와 높이 조건이 유계이며, 자유도가 최소 $\frac{2\delta n}{n+1} - o_h(1)$ 이상인 점들을 포함한다. $\delta$를 $1/2$에 가까이 설정함으로써 이 값은 $\frac{2n}{n+1}$에 임의로 가까워질 수 있다.
• 이중 쌍대 덮개 $f$에 의한 $S_{C,\delta}$의 이미지는 $\operatorname{Hilb}^2(\mathbb{P}^n)$의 얇은 집합에 속하지만, 높은 자유도를 가진 점들을 포함한다.
• 높이 $< B$인 이러한 점들의 수는 상수배 $B \log B$ 이상이므로, 이 집합은 수세기에서 크고 무시할 수 없음을 보여준다.
• $\epsilon < \frac{n}{n+1}$일 때, $\frac{2\delta n}{n+1} > \epsilon$가 되도록 $\delta$를 선택할 수 있으므로, 얇은 집합 내의 무한히 많은 점들에서 자유도가 $\epsilon(H(x))$를 초과한다.
• 따라서 자유도 $> \epsilon(H(x))$인 점들의 집합은 전체 얇은 집합을 배제할 수 없으며, 이는 Peyre의 제안을 무효화한다.
• 반례는 자유도만으로는 Manin-Peyre 추측에서 기하학적으로 정의된 얇은 집합을 대체할 수 없다는 것을 보여준다.