[논문 리뷰] Frequency-Domain Identification of Discrete-Time Systems using Sum-of-Rational Optimization

Mohamed Abdalmoaty, Jared Miller외 2명|arXiv (Cornell University)|2023. 12. 01.

Control Systems and Identification인용 수 1

한 줄 요약

이 논문은 안정적인 이산시간 유리 함수 시스템을 위한 전역 최적의 주파수 도메인 시스템 식별 방법을 제안한다. 가중 잔차의 비볼록 2-노름 최소화 문제를 다항식 행렬 부등식(PMI) 제약 조건이 있는 모멘트-합-제곱(SOS) 계층 구조의 준선형계획문제로 재구성함으로써, 전역 최적해로 수렴하고 해 행렬의 질량 조건을 통해 전역 최적성의 증명을 보장한다.

ABSTRACT

We propose a computationally tractable method for the identification of stable canonical discrete-time rational transfer function models, using frequency domain data. The problem is formulated as a global non-convex optimization problem whose objective function is the sum of weighted squared residuals at each observed frequency datapoint. Stability is enforced using a polynomial matrix inequality constraint. The problem is solved globally by a moment-sum-of-squares hierarchy of semidefinite programs through a framework for sum-of-rational-functions optimization. Convergence of the moment-sum-of-squares program is guaranteed as the bound on the degree of the sum-of-squares polynomials approaches infinity. The performance of the proposed method is demonstrated using numerical simulation examples.

연구 동기 및 목표

• 지역 최적화에 의존하는 전통적인 매개변수 기반 시스템 식별 방법에서 발생하는 국소 최소값 문제를 해결하기 위해.
• 노이즈가 있는 주파수 도메인 데이터로부터 안정적인 이산시간 유리 전이 함수 모델의 전역 최적화를 가능하게 하기 위해.
• 볼록 완화를 이용해 비볼록 주파수 도메인 시스템 식별 문제의 증명 가능한 전역 최적해를 제공하기 위해.
• 유리 함수 최적화 프레임워크를 안정성 제약 조건이 있는 주파수 도메인 시스템 식별으로 확장하기 위해.

제안 방법

• 주파수 도메인 식별 문제를 가중 잔차의 2-노름을 최소화하는 유리 함수 최적화 문제로 재구성한다.
• 전역 최소값에 대한 비감소하는 하한값의 수열을 생성하기 위해 준선형계획문제(SDP)의 모멘트-SOS 계층 구조를 사용한다.
• 분모 다항식에 대한 다항식 행렬 부등식(PMI) 제약 조건을 통해 식별된 모델의 안정성을 보장한다.
• SOS 다항식의 차수 증가에 따라 수렴하는 절단을 포함한 측도 기반 선형계획문제(LP)를 적용한다.
• 모멘트 행렬의 질량 조건을 활용해 전역 최적해를 복원하고 전역 최적성의 증명을 수행한다.
• 모델링에는 Gloptipoly와 YALMIP을, 해법에는 Mosek를, 대규모 안정성 제약 조건이 있는 문제에는 Julia의 Correlative-Term-Sparsity 인터페이스(CS-TSSOS)를 사용한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 볼록 완화를 통해 안정적인 이산시간 시스템에 대해 주파수 도메인 시스템 식별의 전역 최적화를 달성할 수 있는가?
• RQ2 유리 전이 함수에 대해 전역 최적화 프레임워크에서 안정성을 어떻게 보장할 수 있는가?
• RQ3 이 유형의 문제에 대해 모멘트-SOS 계층 구조가 진정한 전역 최소값으로 수렴하는 정도는 어느 정도인가?
• RQ4 기존의 국소 최적화 솔버(fmincon 등)가 전역 최적성 증명이 불가능한 상황에서, 제안된 방법은 전역 최적성 증명이 가능한가?
• RQ5 노이즈 조건 하에서 표준 시스템 식별 도구(n4sid, oe 등)와 비교해 이 방법의 성능은 어떠한가?

주요 결과

• 3차 시스템에 대해 제안된 방법은 전역 최소 목적 함수 값을 0.3173로 도달하였으며, fmincon이 도출한 최고 성능과 동일하지만 전역 최적성 증명이 가능했다.
• 식별된 모델(27)은 Ks 파rameter 집합 내에서 전역적으로 최적임이 입증되었으며, fmincon은 동일한 해를 도출했지만 전역 최적성 검증 없이 수행되었다.
• 몬테카를로 시뮬레이션에서 제안된 방법의 하한값(SDP)이 n4sid에서 초기화된 fmincon의 목적 함수 값과 매우 유사하게 수렴하여 뛰어난 성능을 보였다.
• fmincon이 0에서 초기화된 경우 3000회 반복 후 수렴하지 못했으며, MSE는 31.540으로 나타나 국소 최소값의 위험성을 잘 보여주었다.
• 그림 1에서 보듯이, 제안된 방법은 매우 낮은 오차로 진짜 시스템 동역학을 성공적으로 복원하였으며, 경쟁 방법보다 식별된 주파수 응답과 진짜 주파수 응답 간 오차가 현저히 낮았다.
• SOS 다항식의 차수 경계가 무한으로 갈수록 모멘트-SOS 계층 구조가 전역 최소값으로 수렴함이 보장된다.