[논문 리뷰] Frequency theorem for the regulator problem with unbounded cost functional and its applications to nonlinear delay equations

Mikhail Anikushin|arXiv (Cornell University)|2020. 03. 27.

Stability and Controllability of Differential Equations참고 문헌 32인용 수 9

한 줄 요약

이 논문은 격자 힐버트 공간 설정에서 비유계 비용 함수를 가진 조절 문제에 대해 비특이 주파수 정리(Non-singular frequency theorem)를 수립하여, 유계 선형 연산자를 통해 리아푸노프 유사 기능을 유도할 수 있게 한다. 이 틀을 활용해 비자율 비선형 지연 미분방정식의 주파수 도메인 안정성 기준을 도출하였으며, 특수한 경우에 원형 기준(Circle criterion)을 복원한다.

ABSTRACT

We study the regulator problem with an unbounded cost functional of a general type. A motivation comes from delay equations, which has the feedback part with discrete delays (or, in other words, delta-like measurements, which are unbounded in $L_{2}$). We treat the problem in an abstract context of a certain Hilbert space, which is rigged by a Banach space. We obtain a version of the non-singular frequency theorem, which guarantees the existence of a unique optimal process, starting in the Banach space. We show that the optimal cost (that is the value of the functional on the optimal process) is given by the quadratic of a bounded linear operator from the Banach space to its dual and this form can be used as a Lyapunov-like functional. For a large class of non-autonomous nonlinear delay equations in a feedback form we obtain a frequency-domain stability criteria, which in particular cases coincides with the well-known circle criterion.

연구 동기 및 목표

• 이산 지연을 가진 시스템, 예를 들어 델타 함수 측정을 갖는 시스템에서 발생하는 비유계 비용 함수를 가진 조절 문제를 다루는 것.
• 격자 힐버트 공간 설정에서 바나흐 공간에 속한 초기 상태로부터 최적 과정의 존재성과 유일성을 확립하는 것.
• 최적 비용을 바나흐 공간에서 그 쌍대 공간으로의 유계 선형 연산자의 이차형식으로 특성화하여, 리아푸노프 유사 안정성 분석을 가능하게 하는 것.
• 비자율 비선형 지연 방정식의 광범위한 클래스에 대해 주파수 도메인 안정성 기준을 도출하는 것.
• 유도된 기준이 특수한 경우에 고전적 원형 기준으로 일반화되거나 포함됨을 보여주는 것.

제안 방법

• 상태 공간이 힐버트 공간이고, 초기 상태가 그에 연속적으로 통합된 바나흐 공간에 속하는 격자 힐버트 공간에서 조절 문제를 수립하는 것.
• 이산 지연의 에너지를 반영하는 일반적인 비유계 비용 함수를 도입하여 델타 함수 측정을 모델링하는 것.
• 추상 주파수 정리를 적용하여 바나흐 공간 설정에서 최적 과정의 존재성과 유일성을 보장하는 것.
• 최적 비용을 바나흐 공간에서 그 쌍대 공간으로의 유계 선형 연산자를 포함하는 이차형식으로 도출하여, 이를 리아푸노프 유사 기능으로 사용하는 것.
• 시스템 연산자와 그 해석함수의 스펙트럼 성질을 분석하여 안정성 분석을 주파수 도메인으로 변환하는 것.
• 주파수 도메인 기준을 피드백 형태의 비선형 지연 방정식에 적용하여 점근적 안정성 조건을 도출하는 것.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 초기 상태가 바나흐 공간에 속할 때, 비유계 비용 함수를 가진 조절 문제가 고유한 최적 과정을 갖는 조건는 무엇인가?
• RQ2 지연 시스템의 리아푸노프 유형 안정성 분석이 가능하도록 최적 비용을 어떻게 표현할 수 있는가?
• RQ3 비자율 비선형 지연 방정식의 피드백 형식에서 점근적 안정성을 보장하는 주파수 도메인 조건는 무엇인가?
• RQ4 유도된 안정성 기준이 고전적 원형 기준으로 일반화되거나 축소되는 의미는 무엇인가?
• RQ5 이 추상적 틀은 L2에서 비유계 연산자로 모델링되는 이산 지연을 갖는 시스템에 적용될 수 있는가?

주요 결과

• 제안된 추상적 틀 하에서 바나흐 공간에 속한 초기 상태에 대해 최적 과정이 존재하고 유일하다.
• 최적 비용은 바나흐 공간에서 그 쌍대 공간으로의 유계 선형 연산자의 이차형식으로 표현되며, 이를 통해 리아푸노프 유사 기능을 제공한다.
• 피드백 형태의 비자율 비선형 지연 방정식의 안정성은 주파수 정리에서 유도된 주파수 도메인 기준으로 특성화된다.
• 유도된 안정성 기준은 선형 정수 시간 불변 시스템과 스칼라 지연을 갖는 특수한 경우에 고전적 원형 기준으로 축소된다.
• 상태 공간을 격자 힐버트 공간에 통합함으로써, L2에서 비유계인 이산 지연으로 인한 비유계 비용 함수를 수용할 수 있다.
• 시스템이 자율적이거나 선형일 필요 없이도 안정성 분석이 가능하게 하여, 더 넓은 범위의 지연 미분방정식에 적용 가능성을 확장한다.