[논문 리뷰] Frobenius pairs in abelian categories: correspondences with cotorsion pairs, exact model categories, and Auslander-Buchweitz contexts

Víctor Becerril, Octavio Mendoza외 2명|arXiv (Cornell University)|2016. 02. 23.

Algebraic structures and combinatorial models참고 문헌 34인용 수 4

한 줄 요약

이 논문은 아벨 범주에서 프로베니우스 쌍, 상대 코터전 쌍, 정확한 모델 구조, 그리고 아우슬랜더-부흐바이츠 맥락 사이의 포괄적인 대응을 수립한다. 논문은 왼쪽과 오른쪽 프로베니우스 쌍을 도입하고, 호브리-질리프 대응을 활용하여 이러한 쌍들로부터 사영적이고 정확한 모델 구조를 구성하며, 강력한 프로베니우스 쌍이 충분한 사영적 또는 항등적 대상이 있는 아벨 범주에서 완전하고, 유도적이며, 완벽한 코터전 쌍과 일대일 대응됨을 증명한다.

ABSTRACT

In this work, we revisit Auslander-Buchweitz Approximation Theory and find some relations with cotorsion pairs and model category structures. From the notions of relatives generators and cogenerators in Approximation Theory, we introduce the concept of left Frobenius pairs $(\mathcal{X},ω)$ in an abelian category $\mathcal{C}$. We show how to construct from $(\mathcal{X},ω)$ a projective exact model structure on $\mathcal{X}^\wedge$, as a result of Hovey-Gillespie Correspondence applied to two compatible and complete cotorsion pairs in $\mathcal{X}^\wedge$. These pairs can be regarded as examples of what we call cotorsion pairs relative to a thick subcategory of $\mathcal{C}$. We establish some correspondences between Frobenius pairs, relative cotorsion pairs, exact model structures and Auslander-Buchweitz contexts. Finally, some applications of these results are given in the context of Gorenstein homological algebra by generalizing some existing model structures on the categories of modules over Gorenstein and Ding-Chen rings, and by encoding the stable module category of a ring as a certain homotopy category. We also present some connections with perfect cotorsion pairs, covering classes, and cotilting modules.

연구 동기 및 목표

• 아벨 범주에서 프로베니우스 쌍의 개념을 도입함으로써 아우슬랜더-부흐바이츠 근사 이론을 일반화하는 것.
• 프로베니우스 쌍, 상대 코터전 쌍, 정확한 모델 구조 사이의 대응을 수립하는 것.
• 골레인슈타인 및 딩-참 모듈러스 위의 기존 모델 구조를 프로베니우스 쌍을 사용하여 확장하는 것.
• 공통적인 프레임워크를 통해 골레인슈타인 호모로지 대수학, 호모토피 이론, 코틸팅 이론의 결과들을 통합하고 일반화하는 것.
• 강력한 프로베니우스 쌍이 충분한 사영적 또는 항등적 대상이 있는 아벨 범주에서 완전하고, 유도적이며, 완벽한 코터전 쌍과 일대일 대응됨을 보여주는 것.

제안 방법

• 아벨 범주 $\mathcal{C}$에서 $\mathcal{X}$가 해소 클래스이고 $\omega$가 유한한 사영 차수를 갖는 상대 생성자인 왼쪽 및 오른쪽 프로베니우스 쌍 $(\mathcal{X}, \omega)$를 도입한다.
• $\mathcal{X}^\wedge$를 $\mathcal{X}$에 대한 유한한 해상 차수를 갖는 대상의 부분범주로 정의하며, 이는 두껍다는 것이 증명된다.
• 상대 호모로지 차수와 상대 생성자 및 코생성자의 개념을 사용하여 $\mathcal{X}^\wedge$에서 두 개의 호환되고 완전한 코터전 쌍을 구성한다.
• 호브리-질리프 대응을 적용하여 두 코터전 쌍으로부터 $\mathcal{X}^\wedge$ 위의 정확한 모델 구조를 도출한다.
• 충분한 사영적 대상이 있는 범주에서 강력한 왼쪽 프로베니우스 쌍과 $\mathcal{X}^\wedge$ 위의 사영적 AB 모델 구조 사이의 일대일 대응을 수립한다.
• 오른쪽 프로베니우스 쌍에 대해 이 구조를 쌍대화하여 충분한 항등적 대상이 있는 범주에서 정규적 AB 모델 구조를 얻는다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 프로베니우스 쌍은 아벨 범주에서 두껍고 상대적인 부분범주에 대해 코터전 쌍과 어떻게 관련되어 있는가?
• RQ2 어떤 조건이 프로베니우스 쌍이 $\mathcal{X}^\wedge$에서 완전하고 호환되는 두 코터전 쌍을 유도하게 하는가?
• RQ3 호브리-질리프 대응은 프로베니우스 쌍으로부터 정확한 모델 구조를 구성하는 데 적용될 수 있는가?
• RQ4 강력한 프로베니우스 쌍과 완전하고, 유도적이며, 완벽한 코터전 쌍 사이의 정확한 대응은 무엇인가?
• RQ5 프로베니우스 쌍을 어떻게 활용하여 골레인슈타인 호모로지 대수학에서의 기존 모델 구조를 일반화할 수 있는가?

주요 결과

• 강력한 왼쪽 프로베니우스 쌍 $(\mathcal{X}, \omega)$는 $\mathcal{X}^\wedge$ 위에 사영적 정확한 모델 구조를 유도하며, 이에 대응하는 호모토피 범주는 $\mathcal{X}$를 $\omega$로 나눈 안정 범주와 동치이다.
• 강력한 왼쪽 프로베니우스 쌍과 $\mathcal{C}$에서 완전하고, 유도적이며, 완벽한 코터전 쌍 $(\mathcal{F}, \mathcal{G})$ 사이에는 일대일 대응이 존재한다. 이는 $\mathcal{F} \cap \mathcal{G} = \mathsf{Proj}(\mathcal{C})$ 이고 $\mathsf{id}_{\mathcal{F}}(\mathcal{G}) = 0$ 를 만족한다.
• 이 대응은 사상 $\Phi: (\mathcal{X}, \omega) \mapsto (\mathcal{X}, \omega^\wedge)$ 와 $\Psi: (\mathcal{F}, \mathcal{G}) \mapsto (\mathcal{F}, \mathcal{F} \cap \mathcal{G})$ 를 통해 수립되며, 이 두 사상은 상호 역관계에 있다.
• 이 구조는 골레인슈타인 및 딩-참 환 위의 모듈러스에 알려진 기존의 모델 구조를 일반화하며, 이를 프로베니우스 쌍에서 기인하는 AB 모델 구조로 표현한다.
• 환의 안정 모듈러스 범주는 AB 모델 구조의 호모토피 범주로서 실현되며, 이는 상대 골레인슈타인 사영 모듈러스의 호모토피적 해석을 제공한다.
• 오른쪽 프로베니우스 쌍에 대한 쌍대 이론은 충분한 항등적 대상이 있는 아벨 범주에서 정규적 AB 모델 구조를 유도하며, 유사한 일대일 대응 관계가 존재한다.