[논문 리뷰] From a monotone probabilistic scheme to a probabilistic max-plus algorithm for solving Hamilton-Jacobi-Bellman equations

Marianne Akian, Eric Fodjo|arXiv (Cornell University)|2017. 09. 25.

Stochastic processes and financial applications참고 문헌 1인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 힐버트-자비-벨라망(HJB) 방정식의 고차원 해를 구하기 위해 확률적 최대-최소 알고리즘을 도입한다. 이 알고리즘은 힐버트리안의 분산 행렬에 대한 엄격한 제약 조건을 완화한 단조성 확률적 스킴을 개발함으로써, 이전 방법이 요구하는 양의 정부호 행렬에 의한 하한 유계성 조건을 필요로 하지 않으며, 약한 가정 하에서도 수렴성을 보장한다. 이는 계수 유계성과 강한 타원성 조건을 만족하는 편미분방정식(PDE)에 대해 유효하며, 상관관계 불확실성과 부호가 변화하는 크로스-감마를 포함한 5차원 옵션 가격 모델에서 슈퍼헤징 가격을 효율적으로 계산할 수 있도록 한다.

ABSTRACT

In a previous work (Akian, Fodjo, 2016), we introduced a lower complexity probabilistic max-plus numerical method for solving fully nonlinear Hamilton-Jacobi-Bellman equations associated to diffusion control problems involving a finite set-valued (or switching) control and possibly a continuum-valued control. This method was based on the idempotent expansion properties obtained by McEneaney, Kaise and Han (2011) and on the numerical probabilistic method proposed by Fahim, Touzi and Warin (2011) for solving some fully nonlinear parabolic partial differential equations. A difficulty of the algorithm of Fahim, Touzi and Warin is in the critical constraints imposed on the Hamiltonian to ensure the monotonicity of the scheme, hence the convergence of the algorithm. Here, we propose a new "probabilistic scheme" which is monotone under rather weak assumptions, including the case of strongly elliptic PDE with bounded coefficients. This allows us to apply our probabilistic max-plus method in more general situations. We illustrate this on the evaluation of the superhedging price of an option under uncertain correlation model with several underlying stocks and changing sign cross gamma, and consider in particular the case of 5 stocks leading to a PDE in dimension 5.

연구 동기 및 목표

• 기존의 완전 비선형 HJB 방정식에 대한 확률적 스킴에서 요구하는 제한적인 단조성 조건을 극복하기 위해.
• 강한 타원성 PDE와 계수 유계성 조건을 만족하는 일반 제어 문제에 대해 확률적 최대-최소 방법을 적용할 수 있도록 하기 위해.
• 시간 단계와 샘플링 크기의 다항식 복잡도를 유지하면서 수치적으로 안정적이고 수렴하는 스킴을 개발하기 위해.
• 5차원 문제, 예를 들어 상관관계 불확실성과 비凸성 지ay payoff를 포함한 고차원 문제에서의 효용성을 입증하기 위해.

제안 방법

• HJB 방정식의 헤시안에 대한 새로운 확률적 이산화를 제안하여, 분산 행렬의 유계성 조건을 포함한 약한 가정 하에서도 단조성을 보장한다.
• 기존의 분산 행렬에 대한 하한 조건을 더 일반적이고 완화된 조건으로 대체하는 수정된 확률적 스킴을 도입한다.
• McEneaney 등이 제안한 아이드포텐트 최대-최소 구조와 Fahim, Touzi, Warin의 확률적 수치 방법을 결합하여, 역행적으로 값 함수를 이차형식의 최대값으로 계산할 수 있도록 한다.
• 각 이산 제어에 대응하는 비제어 과정의 몬테카를로 시뮬레이션을 수행하며, 유한한 수의 샘플 경로를 사용한다.
• 지수적 증가를 막기 위해 이차형식의 수를 줄이는 기법을 적용하면서도, 시간 단계와 샘플링 크기의 다항식 복잡도를 유지한다.
• 안정성 기반 근사 전략을 활용하여, 초기 상태 주변의 유한한 영역 내에서 값 함수를 근사한다. 이는 시뮬레이션 경로가 초기 지점 근처에 집중되어 있음을 고려한 것이다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 HJB 방정식에 대한 확률적 스킴이 분산 행렬에 대한 핵심 하한 조건이 아닌 약한 가정 하에서도 단조성을 확보할 수 있는가?
• RQ2 제안된 스킴이 5차원 옵션 가격 산정과 같은 고차원 설정에서 수렴성과 다항식 복잡도를 유지하는가?
• RQ3 이 방법은 상관관계 불확실성과 부호가 변화하는 크로스-감마를 포함한 금융 모델에서 비凸성 지ay payoff를 효과적으로 처리할 수 있는가?
• RQ4 유한 차분 방법과 비교해 볼 때, 고차원 문제에서 메모리 사용량과 계산 시간 측면에서 이 스킴의 성능은 어떠한가?
• RQ5 특히 지ay payoff가 c-하나의 볼록성 조건을 만족하지 못할 경우, 유계되지 않은 영역에서 유한한 이차형식 최대값의 초과로 값 함수를 얼마나 정확하게 근사할 수 있는가?

주요 결과

• 제안된 확률적 스킴은 강한 타원성 PDE와 계수 유계성 조건을 포함한 약한 가정 하에서도 단조성과 수렴성을 확보하며, 이는 Fahim 등이 제안한 스킴에서 요구하는 제한적인 하한 조건을 완화함을 의미한다.
• 이 알고리즘은 상관관계 불확실성과 부호가 변화하는 크로스-감마를 포함한 5개 자산 옵션에 대해 슈퍼헤징 가격을 성공적으로 계산하였다. 이는 이전 방법이 비凸성과 준볼록성 부족으로 인해 실패하는 경우에도 적용 가능함을 보여준다.
• 5차원에서 이 방법은 12개의 코어와 192GB RAM을 사용하여 약 19시간 내에 값 함수의 안정적 근사를 달성하였으며, 샘플링 크기 N_in = 3000과 N_x = 50을 사용하였다.
• 5차원에서 계산된 값 함수는 진짜 해와 일치하는 형태를 보였지만, 수렴이 완전히 이루어지지 않았다. 이는 N_in = 2000과 N_in = 3000 사이에서 관측된 오차와 유사한 수준이었다.
• 5차원 격자에 비해 약 7.5×10⁵ 단위의 메모리 사용량을 기록하여, 기존의 유한 차분 방법(약 10¹⁰ 단위)보다 훨씬 적은 메모리 요구량을 보였으며, 이는 고차원 문제에 대한 적용 가능성을 높였다.
• 계산의 성능 저하 요인은 각 시간 단계에서 최대 이차형식을 찾기 위한 O(N_in² × N_w × d²) 최적화 단계로 규명되었으며, 향후 성능 향상의 핵심 대상이 될 것으로 보인다.