[논문 리뷰] From Black-Scholes and Dupire formulae to last passage times of local martingales. Part A : The infinite time horizon

Amel Bentata, Marc Yor|ArXiv.org|2008. 06. 02.

Stochastic processes and financial applications참고 문헌 45인용 수 12

한 줄 요약

이 논문은 블랙-숄즈 모델에서의 옵션 가격과 양의 로컬 마틴게일의 마지막 통과 시간 사이의 깊은 연결을 수립하며, 옵션 가격이 특정 수준에 마지막으로 도달한 시간과 관련된 확률로 해석될 수 있음을 보여준다. 주요 기여는 블랙-숄즈 가격의 양의 부분 기대값과 마지막 통과 시간 분포를 연결하는 항등식을 일반화하여, 일반적인 연속 로컬 마틴게일로 확장하고, 시간 변화된 브라운 운동을 통해 아자 아 수퍼마틴게일과 두프레 공식과 연결한다.

ABSTRACT

These notes are the first half of the contents of the course given by the second author at the Bachelier Seminar (February 8-15-22 2008) at IHP. They also correspond to topics studied by the first author for her Ph.D.thesis.

연구 동기 및 목표

• 블랙-숄즈 모델에서 옵션 가격의 확률적 해석을 확률적 과정의 마지막 통과 시간과 관련된 확률로 이해하는 것.
• 블랙-숄즈 가격의 양의 부분 기대값과 마지막 통과 시간 분포 사이의 항등식을 일반적인 연속 로컬 마틴게일로 일반화하는 것.
• 양의 로컬 마틴게일의 마지막 통과 시간 법칙을 아자 아 수퍼마틴게일과 필터의 확장 이론과 연결하는 것.
• 마틴게일이 거의 확실히 0으로 수렴하지 않는 경우에도 표현식 P(G_K ≤ t | F_t) = (1 - M_t/K)+를 확장하는 것.
• 마지막 통과 시간과 로컬 시간의 관점에서 블랙-숄즈 공식과 관련 공식들을 통합하는 것.

제안 방법

• 연속 로컬 마틴게일의 양의 부분 기대값과 그 수준 K에서의 마지막 통과 시간 분포를 연결하는 일반적인 항등식을 유도한다.
• 시간 변화된 브라운 운동과 두프의 최대값 항등식을 사용하여 옵션 가격과 마지막 통과 시간 사이의 연결을 수립한다.
• 진행적 필터 확장 이론의 이론을 적용하여 G_K 이전 및 이후 과정을 분석한다.
• M_∞ ≠ 0 인 경우에도 항등식 P(G_K ≤ t | F_t) = (1 - M_t/K)+를 일반화하여 E[1_{G_K ≤ t} (K - M_∞)+ | F_t] = (K - M_t)+ 를 유도한다.
• 로컬 마틴게일 M_t를 통해 측도 변화 기법을 사용하여 문제를 시간 변화된 브라운 운동 프레임워크로 변환한다.
• 균일 합리성 마틴게일 이론과 선택적 표본 정리의 이론을 적용하여 핵심 항등식을 유도한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 블랙-숄즈 공식은 기초 자산 가격의 마지막 통과 시간과 관련된 확률 분포로 해석될 수 있는가?
• RQ2 일반적인 연속 양의 로컬 마틴게일이 0으로 수렴할 때 마지막 통과 시간 G_K의 법칙은 어떻게 행동하는가?
• RQ3 진행적 필터 확장의 맥락에서 마지막 통과 시간 G_K와 아자 아 수퍼마틴게일 간의 관계는 무엇인가?
• RQ4 마틴게일이 0으로 수렴하지 않을 경우 항등식 P(G_K ≤ t | F_t) = (1 - M_t/K)+ 는 어떻게 일반화될 수 있는가?
• RQ5 옵션 가격과 마지막 통과 시간 간의 연결을 스트라이크 가격에 대한 통합을 포함하는 글로벌 프레임워크로 확장할 수 있는가?

주요 결과

• 표준 브라운 운동에서 E_t = exp(B_t - t/2) 이면 항등식 E[(E_t - 1)+] = P(4N² ≤ t) 가 성립하며, 이는 0으로 수렴하는 임의의 연속 양의 로컬 마틴게일 M_t로 일반화된다.
• 비수렴 확산 과정에 대해 마지막 통과 시간 G_K = sup{t : M_t = K}의 법칙이 명시적으로 계산되며, 피트만과 요르 (1981)의 결과를 복원한다.
• M_∞ ≠ 0 인 경우 공식 P(G_K ≤ t | F_t) = (1 - M_t/K)+ 가 E[1_{G_K ≤ t} (K - M_∞)+ | F_t] = (K - M_t)+ 로 일반화된다.
• 마지막 통과 시간 G_K 는 아자 아의 랜덤 시간의 특수한 케이스임이 밝혀지며, 관련 수퍼마틴게일은 아자 아 수퍼마틴게일의 특수한 케이스로 식별된다.
• 스트라이크 K에 대해 항등식을 통합함으로써 블랙-숄즈 공식과 로컬 시간 사이의 글로벌 연결을 수립하며, 이는 이토의 공식을 타나카 공식에서 유도하는 것과 유사하다.
• 마지막 통과 시간 G_K 의 법칙은 마틴게일의 로컬 시간의 역함수로 주어지는 시간 변화된 브라운 운동 프레임워크를 사용하여 유도된다.