[논문 리뷰] From clocks to cloners: Catalytic transformations under covariant operations and recoverability

Iman Marvian, Seth Lloyd|arXiv (Cornell University)|2016. 08. 25.

Asymmetric Hydrogenation and Catalysis인용 수 13

한 줄 요약

이 논문은 상대 엔트로피 비대칭성(의도된 대칭성을 유지하는 공변 연산에 대해 촉매 작용하는 상태 변환의 가능성을 결정짓는다. Fawzi와 Renner의 복원 가능성 프레임워크를 활용하여, 비대칭성이 약간만 증가할 경우 높은 정밀도의 변환이 가능하다는 것을 보여주며, Petz 복원 매핑이 최적의 복제 정밀도를 달성함으로써, 양자 시계에서부터 양자 복제에 이르기까지 다양한 시나리오를 하나의 정보이론적 원리로 통합한다.

ABSTRACT

There are various physical scenarios in which one can only implement operations with a certain symmetry. Under such restriction, a system in a symmetry-breaking state can be used as a catalyst, e.g. to prepare another system in a desired symmetry-breaking state. This sort of (approximate) catalytic state transformations are relevant in the context of (i) state preparation using a bounded-size quantum clock or reference frame, where the clock or reference frame acts as a catalyst, (ii) quantum thermodynamics, where again a clock can be used as a catalyst to prepare states which contain coherence with respect to the system Hamiltonian, and (iii) cloning of unknown quantum states, where the given copies of state can be interpreted as a catalyst for preparing the new copies. Using a recent result of Fawzi and Renner on approximate recoverability, we show that the achievable accuracy in this kind of catalytic transformations can be determined by a single function, namely the relative entropy of asymmetry, which is equal to the difference between the entropy of state and its symmetrized version: if the desired state transition does not require a large increase of this quantity, then it can be implemented with high fidelity using only symmetric operations. Our lower bound on the achievable fidelity is tight in the case of cloners, and can be achieved using the Petz recovery map, which interestingly turns out to be the optimal cloning map found by Werner.

연구 동기 및 목표

• 공변 연산 하에서 촉매 작용하는 변환의 프레임워크를 통해 다양한 물리적 시나리오—양자 시계, 열역학, 양자 복제—를 통합하는 것.
• 이러한 변환의 가능 정밀도를 결정짓는 단일 정보이론적 척도를 규명하는 것.
• 대칭 연산 하에서 비대칭 상태를 생성하는 데 드는 자원 비용을 상대 엔트로피 비대칭성으로 측정할 수 있음을 보여주는 것.
• Petz 복원 매핑이 양자 복제에서 최적의 정밀도를 달성하며, Werner가 이전에 밝힌 최적 클로너와 일치함을 보여주는 것.

제안 방법

• 촉매가 거의 변화하지 않는 상태에서 시스템과 촉매에 작용하는 공변 양자 채널로 촉매 작용 변환을 수식화하는 것.
• Fawzi와 Renner의 근사 복원 가능성 정리에 따라 상대 엔트로피 비대칭성에 기반해 상태 전이의 정밀도를 제한하는 것.
• 상대 엔트로피 비대칭성을 상태의 바나흐 엔트로피와 그 대칭화된 형태의 바나흐 엔트로피의 차이로 정의하는 것.
• 정밀도의 하한을 달성하기 위한 후보 채널로 Petz 복원 매핑을 사용하여, 이가 알려진 최적 복제 매핑과 일치함을 보여주는 것.
• 비대칭성이 공변 채널에 의해 크게 감소하지 않는 한, 다른 공변 채널을 사용해 과정을 근사적으로 반전시킬 수 있음을 일반화하는 것.
• 상대 엔트로피 비대칭성의 증가에 기반해 임의의 촉매 작용 변환에 대한 정밀도의 하한을 유도하는 것.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 공변 연산 하에서 촉매 작용하는 상태 변환의 가능 정밀도를 결정짓는 단일 비대칭 척도가 존재하는가?
• RQ2 상대 엔트로피 비대칭성은 대칭 연산을 사용해 대칭 상태에서 비대칭 상태를 생성하는 데 드는 자원 비용과 어떻게 관련이 있는가?
• RQ3 Petz 복원 매핑은 공변 연산의 맥락에서 최적의 복제 매핑으로 해석될 수 있는가?
• RQ4 어떤 조건에서 대칭 양자 과정이 오직 대칭 연산만을 사용해 근사적으로 반전될 수 있는가?
• RQ5 Fawzi와 Renner의 복원 가능성 프레임워크는 대칭 제약 조건이 있는 양자 변환에 어떻게 적용되는가?

주요 결과

• 공변 연산 하에서 촉매 작용 변환의 가능 정밀도는 $ \sqrt{ \frac{d_+(n)}{d_+(n+k)} } $ 이하로 제한되며, 여기서 $ d_+(r) = \binom{r+d-1}{d-1} $ 는 $ r $ 큐디트의 대칭 부분공간의 차원이다.
• 이 하한은 Werner(1998)가 유도한 최적 복제 정밀도와 정확히 일치하며, Petz 복원 매핑이 최적 클로너를 실현함을 보여준다.
• 복제 시나리오에 적용되었을 때 Petz 복원 매핑은 정확히 최적 복제 매핑이며, 대칭 제약 조건을 통한 최적성의 확인이 가능하다.
• 공변 채널에 의해 상대 엔트로피 비대칭성이 $ \Delta\Gamma $ 만큼 감소하면, 과정은 최소한 $ 2^{-\Delta\Gamma/2} $ 의 정밀도로 근사적으로 반전될 수 있다.
• 결과는 비대칭 손실이 작은 모든 대칭 과정이 오직 대칭 연산만을 사용해 근사적으로 반전될 수 있음을 일반화한다.
• 상대 엔트로피 비대칭성은 공변 연산 하에서 촉매 작용 변환에 대해 완전하고 날카로운 척도로서 기능하며, 시계 기반 상태 준비와 양자 복제와 같은 보기에 다소 다를 것 같지만 실은 통합된 물리적 시나리오를 통합한다.