[논문 리뷰] From Clustering Supersequences to Entropy Minimizing Subsequences for Single and Double Deletions

Arash Atashpendar, Marc Beunardeau외 5명|arXiv (Cornell University)|2018. 02. 02.

DNA and Biological Computing참고 문헌 30인용 수 9

한 줄 요약

이 논문은 단일 및 이중 삭제 하에서 이진 문자열의 엔트로피 최소화를 조사하며, 런-레ング스 인코딩 기반 방법을 제안하여 부분수열 임bedding 수를 세고 슈퍼시퀀스를 군집화한다. 연구는 상수(예: 모두 0 또는 모두 1) 및 교대(예: 1010...) 문자열이 각각 사후 엔트로피를 최소화하고 최대화함을 증명하며, 이는 조합적 군집화 및 폐형 표현 기법을 사용하여 오랫동안 제기된 추측을 확인한다.

ABSTRACT

A binary string transmitted via a memoryless i.i.d. deletion channel is received as a subsequence of the original input. From this, one obtains a posterior distribution on the channel input, corresponding to a set of candidate supersequences weighted by the number of times the received subsequence can be embedded in them. In a previous work it is conjectured on the basis of experimental data that the entropy of the posterior is minimized and maximized by the constant and the alternating strings, respectively. In this work, in addition to revisiting the entropy minimization conjecture, we also address several related combinatorial problems. We present an algorithm for counting the number of subsequence embeddings using a run-length encoding of strings. We then describe methods for clustering the space of supersequences such that the cardinality of the resulting sets depends only on the length of the received subsequence and its Hamming weight, but not its exact form. Then, we consider supersequences that contain a single embedding of a fixed subsequence, referred to as singletons, and provide a closed form expression for enumerating them using the same run-length encoding. We prove an analogous result for the minimization and maximization of the number of singletons, by the alternating and the uniform strings, respectively. Next, we prove the original minimal entropy conjecture for the special cases of single and double deletions using similar clustering techniques and the same run-length encoding, which allow us to characterize the distribution of the number of subsequence embeddings in the space of compatible supersequences to demonstrate the effect of an entropy decreasing operation.

연구 동기 및 목표

• 단일 및 이중 삭제 이후 상수 및 교대 이진 문자열이 사후 엔트로피를 최소화하고 최대화한다는 추측을 해결하기 위해.
• 슈퍼시퀀스 내 부분수열 임bedding 수를 세기 위한 런-레ング스 인코딩 기반 알고리즘을 개발하기 위해.
• 부분수열의 구조에 독립적으로 길이와 해밍 무게 기반으로 슈퍼시퀀스를 군집화하는 기법을 도입하기 위해.
• 고정된 부분수열이 정확히 한 번만 임bedding되는 싱글턴 슈퍼시퀀스에 대한 폐형 표현식을 유도하기 위해.
• 임bedding의 분포를 특성화하고 조합적 분석을 통해 엔트로피 감소 작용을 보여주기 위해.

제안 방법

• 이진 문자열을 런-레ング스 인코딩으로 표현하고, 임bedding 수의 폐형 표현식을 유도하기 위해.
• 부분수열 길이와 해밍 무게 기반으로 슈퍼시퀀스 군집화를 도입하여, 군집의 크기가 이들 매개변수에만 의존하도록 보장하기 위해.
• 런-레ング스 매개변수를 통해 정확히 한 번의 부분수열 임bedding을 가진 싱글턴 슈퍼시퀀스를 조합 기법으로 수량화하기 위해.
• 귀납법과 대수적 변환을 사용하여 특정 문자열 변환에 대해 임bedding 수의 불변성을 증명하기 위해.
• 엔트로피 분석을 통해 상수 문자열이 단일 및 이중 삭제 하에서 엔트로피를 최소화하고, 교대 문자열이 최대화함을 보여주기 위해.
• 런-레ング스 공간에서 대칭 변환을 통해 엔트로피 감소 작용이 임bedding 구조를 유지함을 보여주기 위해.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 이전에 제기된 바와 같이, 상수 이진 문자열이 단일 및 이중 삭제 이후 사후 엔트로피를 최소화하는가?
• RQ2 런-레ング스 인코딩을 사용하여 고정된 부분수열이 부분수열 임bedding으로 포함된 슈퍼시퀀스의 수를 폐형으로 계산할 수 있는가?
• RQ3 문자열의 특정 구조적 변형에 대해, 가용 가능한 슈퍼시퀀스 간 임bedding의 분포가 불변인가?
• RQ4 교대 문자열이 단일 및 이중 삭제에 대해 사후 엔트로피를 최대화하는가?
• RQ5 군집화 기법을 사용하여 슈퍼시퀀스를 군집화할 수 있는가? 이때 군집 크기가 부분수열 길이와 해밍 무게에만 의존하도록 하는가?

주요 결과

• 논문은 상수 문자열(예: 00...0 또는 11...1)이 단일 및 이중 삭제 이후 사후 엔트로피를 최소화함을 증명한다.
• 교대 문자열(예: 1010... 또는 0101...)은 동일한 삭제 모델 하에서 사후 엔트로피를 최대화함을 확인한다.
• 런-레ング스 인코딩을 사용하여 정확히 한 번의 부분수열 임bedding을 가진 싱글턴 슈퍼시퀀스의 수에 대한 폐형 표현식을 도출한다.
• 싱글턴 슈퍼시퀀스의 수는 교대 문자열에서 최대화되고 상수 문자열에서 최소화되며, 이는 이중 극값 성질을 확인한다.
• 군집화 방법은 각 군집의 크기가 수신된 부분수열의 길이와 해밍 무게에만 의존함을 보장한다. 이는 특정 패턴에 영향을 받지 않는다.
• 특정 런-레ング스 변환 하에서 임bedding 수의 대수적 불변성이 증명되었으며, 이는 엔트로피 극값 결과를 뒷받침한다.