[논문 리뷰] From completeness of discrete translates to phaseless sampling of the short-time Fourier transform

Philipp Grohs, Lukas Liehr외 1명|arXiv (Cornell University)|2022. 11. 10.

Advanced X-ray Imaging Techniques인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 이산 이동의 완비성과 단기 푸리에 변환(STFT)의 단상 샘플링 사이에 새로운 연결 고리를 설정하며, 특정 밀도 조건을 만족하는 이동 체계와 관련하여 컴팩트하게 지지된 복소수 함수가 스펙트로그램 샘플로부터 유일하게 복원될 수 있음을 증명한다. 주요 기여는 가우시안 이외의 윈도우—예를 들어 가우시안, 에르미트 함수, 에어리 디스크 함수—에 대해 단상 STFT 샘플링 하에서의 첫 번째 복원 보장 조건을 제시하는 것이다.

ABSTRACT

We study the uniqueness problem in short-time Fourier transform phase retrieval by exploring a connection to the completeness problem of discrete translates. Specifically, we prove that functions in $L^2(K)$ with $K \subseteq \mathbb{R}^d$ compact, are uniquely determined by phaseless lattice-samples of its short-time Fourier transform with window function $g$, provided that specific density properties of translates of $g$ are met. By proving completeness statements for systems of discrete translates in Banach function spaces on compact sets, we obtain new uniqueness statements for phaseless sampling on lattices beyond the known Gaussian window regime. Our results apply to a large class of window functions, which are relevant in time-frequency analysis and applications.

연구 동기 및 목표

• 고전적인 이산 이동의 완비성 문제를 현대적 단상 복원 문제인 단기 푸리에 변환(STFT)과 연결하기 위해.
• 컴팩트하게 지지된 복소수 함수가 스펙트로그램 샘플로부터 유일하게 복원될 수 있는 충분한 조건을 설정하기 위해.
• 콤��� 집합 위 연속 함수 공간에서의 이산 이동 체계에 대한 새로운 완비성 결과를 도출하기 위해.
• 비가우시안 윈도우 함수를 사용한 단상 STFT 샘플링에 대한 첫 이론적 복원 보장 조건을 제공하기 위해.

제안 방법

• 콤팩트한 $ K \subseteq \mathbb{R}^d $ 에서의 $ C(K) $ 공간에서의 이산 이동 완비성을 활용하여 이동된 함수들의 조밀한 선형 스펙트럼을 보장한다.
• 평균 주기 함수 이론을 적용하여 $ C(K) $ 에서 이동이 완비가 되는 비평균주기 함수를 특성화한다.
• 윈도우 $ g $ 와 관련된 이동 체계를 통해 STFT 스펙트로그램의 구조인 $ |V_g f(x,\omega)|^2 $ 의 샘플링 성질을 분석한다.
• 복소해석학 및 정수함수 이론을 적용하여 이동 체계의 밀도 조건 하에서 단상 STFT 사상의 단사성을 도출한다.
• 타카기의 인수분해와 특이값 분해를 활용하여 생성 함수의 지수부에서 항등행렬에서 임의의 대칭행렬으로 결과를 일반화한다.
• 단상 복원 문제에서 발생하는 함수방정식을 만족하는 정수함수의 명시적 지수형태를 도출하여 유일성 결과를 이끌어낸다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 콤팩트한 $ K \subseteq \mathbb{R}^d $ 에서 이동 체계 $ \mathfrak{T}(f,\Lambda) $ 가 $ C(K) $ 에서 완비가 되기 위한 조건은 무엇인가?
• RQ2 이산 이동의 완비성이 스펙트로그램 샘플로부터 함수의 유일한 복원을 보장하는 데 어떻게 활용될 수 있는가?
• RQ3 어떤 밀도 조건이 비가우시안 윈도우에 대해 단상 STFT 복원을 보장하는 샘플링 격자를 보장하는가?
• RQ4 윈도우가 가우시안이 아닐 경우, 예를 들어 에어리 디스크 함수나 에르미트 함수일 때 STFT의 단상 복원 문제는 유일하게 해결될 수 있는가?
• RQ5 기능 방정식 $ \varphi(z + \lambda) = \psi(z)\sigma(\lambda)e^{-2z^T A \lambda} $ 를 만족하는 정수함수의 구조는 무엇이며, 이는 단상 복원에서의 유일성과 어떻게 관련되는가?

주요 결과

• 컴팩트하게 지지된 복소수 함수 $ f \in L^2(\mathbb{R}^d) $ 는 어떤 컴팩트한 $ K \subseteq \mathbb{R}^d $ 에 대해 관련 이동 체계 $ \mathfrak{T}(g, \Lambda) $ 가 $ C(K) $ 에서 완비일 경우, 그 스펙트로그램 $ |V_g f(x,\omega)|^2 $ 의 샘플로부터 유일하게 복원될 수 있다.
• 생성 함수 $ g $ 가 평균주기 함수가 아닐 경우, 이산 이동의 완비성이 보장되며, 이는 복원을 위한 충분조건가 된다.
• 논문은 $ C(K) $ 에서의 이산 이동에 대한 새로운 완비성 결과를 확립하며, 이는 이전의 평균주기 함수 및 콤팩트 집합에 대한 연구를 확장한다.
• 가우시안, 에르미트 함수, 에어리 디스크 함수 등 광범위한 윈도우 클래스에 대해 단상 STFT 샘플링을 통해 전역 위상까지 유일하게 복원 가능함을 보여주며, 가우시안 가정 없이도 성립한다.
• 기능 방정식 $ \varphi(z + \lambda) = \psi(z)\sigma(\lambda)e^{-2z^T A \lambda} $ 는 명시적 지수형태 $ \varphi(z) = \exp(-z^T A z + z^T b + c) $ 로 이어지며, 이는 유일성 증명의 기초를 이룬다.
• 타카기의 인수분해와 특이값 분해를 통해 결과는 임의의 대칭행렬 $ A $ 로 확장되어 일반적인 STFT 샘플링 격자에 광범위하게 적용 가능함을 보장한다.