[논문 리뷰] From constructive field theory to fractional stochastic calculus. (I) The Lévy area of fractional Brownian motion with Hurst index $α\in (1/8,1/4)$

Magnen, J., Unterberger, J.|arXiv (Cornell University)|2010. 06. 07.

Stochastic processes and financial applications참고 문헌 81인용 수 8

한 줄 요약

이 논문은 다중 척도 가우시안 장과 구성적 양자장 이론을 사용하여 허스팅 지수 $\alpha \in (1/8, 1/4)$ 인 이차원 분수 브라운 운동에 대한 레비 면적을 엄밀하게 구축한다. 클러스터 전개, 재규격화 및 수력 계수 기법을 적용하여, 고전적 확률 미적분학이 붕괴되는 이 흐릿한 경로 영역에서 약하게 상호작용하는 장의 극한으로서 두 번째 차수의 반복 적분을 정의함으로써, 이론적 경로 적분을 위한 비대수적이고 극한 기반의 절차를 제공한다.

ABSTRACT

Let $B=(B_1(t),\ldots,B_d(t))$ be a $d$-dimensional fractional Brownian motion with Hurst index $α<1/4$. Defining properly iterated integrals of $B$ is a difficult task because of the low Hölder regularity index of its paths. Yet rough path theory shows it is the key to the construction of a stochastic calculus with respect to $B$, or to solving differential equations driven by $B$. We show in this paper how to obtain second-order iterated integrals as the limit when the ultra-violet cut-off goes to infinity of iterated integrals of weakly interacting fields defined using the tools of constructive field theory, in particular, cluster expansion and renormalization. The construction extends to a large class of Gaussian fields with the same short-distance behaviour, called multi-scale Gaussian fields. Previous constructions \cite{Unt-Holder,Unt-fBm} were of algebraic nature and did not provide such a limiting procedure.

연구 동기 및 목표

• 분수 브라운 운동에 대한 두 번째 차수 반복 적분—특히 레비 면적—을 엄밀히 정의하는 것, 특히 고전적 확률 미적분학이 실패하는 낮은 호일더 연속성($\alpha < 1/4$) 조건에서.
• 구성적 양자장 이론 도구를 활용하여 비대수적이고 극한 기반의 흐릿한 경로 적분 절차를 개발하는 것.
• 분수 브라운 운동과 같은 근접 거리 행동을 공유하는 다중 척도 가우시안 장의 광범위한 클래스로 이 틀을 확장하는 것.
• Stratonovich 적분의 발산 문제를 재규격화된 섭동 이론을 통한 잘 정의된 극한 절차로 해결하여 $\alpha \leq 1/4$ 영역에서의 문제를 극복하는 것.

제안 방법

• 가우시안 장의 다중 척도 분해를 사용하여 고주파수 및 저주파수 성분을 분리함으로써 반복 적분의 반복적 구성이 가능하도록 한다.
• 브리지즈-켄네디 클러스터 전개 공식을 적용하여 상호작용하는 장 구성의 기여를 재정렬하고 발산을 제어한다.
• 다중 척도 재규격화 절차를 구현하여 발산 항을 흡수하고, 피카르도 수치 추정을 사용하여 파인먼 도형의 성장률을 제한한다.
• 발산 기여를 지배하기 위해 질량 보정항과 운동량에 의존하는 상호작용 항을 도입하여 초단거리 극한에서 수렴성을 확보한다.
• 가우시안 추정과 조합론적 추정을 사용하여 클러스터 전개에서 고분자 기여를 제어한다.
• 암시함수 정리를 사용하여 척도에 의존하는 보정항을 구하고, 척도에 독립적인 극한으로 수렴함을 증명한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 분수 브라운 운동에 대해 $\alpha \in (1/8, 1/4)$ 일 때 고전적 이토 및 스트라토노비치 미적분학이 실패하더라도 레비 면적을 엄밀하게 구축할 수 있는가?
• RQ2 경로가 너무 흐릿하여 표준 적분이 불가능한 상황에서 약하게 상호작용하는 장에 기반한 극한 절차를 어떻게 사용하여 반복 적분을 정의할 수 있는가?
• RQ3 특히 클러스터 전개와 재규격화를 포함한 구성적 양자장 이론이 흐릿한 경로 적분의 구성에서 발산을 제어하는 데 어떤 역할을 하는가?
• RQ4 이 구축 절차를 분수 브라운 운동을 초월하여 동일한 근접 거리 행동을 공유하는 다중 척도 가우시안 장의 광범위한 클래스로 확장할 수 있는가?
• RQ5 초단거리 극한에서 질량 보정항과 자유 에너지의 점근적 행동은 어떻게 되며, 이는 전체 전개의 수렴성을 어떻게 보장하는가?

주요 결과

• 레비 면적은 약하게 상호작용하는 장의 반복 적분의 극한으로 잘 정의되며, 클러스터 전개와 재규격화를 통해 수렴성이 확립된다.
• 이 구축은 척도에 독립적인 질량 보정항 $b^j = K M^{j(1-4\alpha)}(1 + O(\lambda))$ 를 제공하며, 척도 재규격화에 대한 안정성을 증명한다.
• 이 방법은 이전의 대수적 구성 방식을 초월하여 비대수적이고 극한 기반의 흐릿한 경로 적분 절차를 제공한다.
• 수력 계수와 지배 추정을 통해 모든 발산 기여가 제어되며, 최악의 경우 발산은 $O(\lambda^{9/2})$ 에서 각 간격 당 유계이다.
• 2점 함수는 순서 $\inf(1, \lambda^{-2} M^{-(\rho-j)(1-4\alpha)})$ 의 작은 인자로 표현되며, $\rho \to \infty$ 일 때 소멸하여 섭동 전개의 수렴성을 확인한다.
• 스케일 $j$ 에서의 자유 에너지는 균일하게 유계이며, 전체 $n$-점 함수가 초단거리 극한에서 수렴함을 보여, 확률 미적분학의 존재를 확립한다.