[논문 리뷰] From data to reduced-order models via moment matching

Azka Muji Burohman, Bart Besselink외 2명|arXiv (Cornell University)|2020. 10. 31.

Model Reduction and Neural Networks인용 수 6

한 줄 요약

이 논문은 고차원 시스템 모델에 대한 직접적 시스템 식별이 필요 없이 오직 시간 영역 입력-출력 데이터만을 사용하여 감소 차수 모델 축소를 위한 데이터 기반 모멘트 매칭 방법을 제시한다. 헨켈 행렬의 데이터 정보성과 질량 조건을 활용하여 정확한 모멘트 계산과 사전에 지정된 극을 통한 유리 함수 보간을 통한 안정적인 보간 모델 축소를 가능하게 한다.

ABSTRACT

A new method for data-driven interpolatory model reduction is presented in this paper. Using the so-called data informativity perspective, we define a framework that enables the computation of moments at given (possibly complex) interpolation points based on time-domain input-output data only, without explicitly identifying the high-order system. Instead, by characterizing the set of all systems explaining the data, necessary and sufficient conditions are provided under which all systems in this set share the same moment at a given interpolation point. Moreover, these conditions allow for explicitly computing these moments. Reduced-order models are then derived by employing a variation of the classical rational interpolation method. The condition to enforce moment matching model reduction with prescribed poles is also discussed as a means to obtain stable reduced-order models. An example of an electrical circuit illustrates this framework.

연구 동기 및 목표

• 오직 시간 영역 입력-출력 데이터만을 사용하여 직접적 시스템 식별을 회피하는 데이터 기반 모델 축소 방법을 개발하는 것.
• 고차원 시스템 모델에 대한 액세스 없이도 데이터로부터 직접 시스템 모멘트를 계산하기 위한 필요 및 충분 조건을 설정하는 것.
• 지정된 극을 통한 모멘트 매칭을 통해 안정적인 감소 차수 모델을 구현하는 것.
• 행동적 및 정보성 프레임워크를 활용하여 보간 모델 축소 기법을 데이터 기반 환경으로 확장하는 것.

제안 방법

• 해당 방법은 관측된 시간 영역 입력-출력 데이터와 일치하는 모든 시스템의 집합을 특성화하기 위해 데이터 정보성 프레임워크를 사용한다.
• 모든 일치하는 시스템이 주어진 복소수 보간 점에서 동일한 모멘트를 공유하는지 여부를 판단하기 위해 데이터의 헨켈 행렬에 대한 질량 기반 조건을 유도한다.
• 이 조건들을 사용하여 시스템 식별이나 전이 함수 평가 없이 데이터로부터 직접 모멘트를 계산한다.
• 계산된 모멘트를 사용하여 유리 함수 보간 문제를 해결함으로써 주어진 점에서 원래 시스템의 모멘트와 일치하는 감소 차수 모델을 구성한다.
• 감소 차수 모델의 안정성을 확보하기 위해 원하는 극을 선택하고, 데이터에서 유도된 구조적 행렬의 질량 조건을 통해 타당성을 검증한다.
• 바르드모르드 행렬과 실베스터 행렬 방정식의 성질을 활용하여 해의 존재성과 수치적 안정성을 보장한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 어떤 데이터 조건에서 기저 고차원 시스템을 식별하지 않고도 모멘트를 계산할 수 있는가?
• RQ2 주파수 영역 또는 시스템 모델에 대한 액세스 없이도 오직 시간 영역 입력-출력 데이터만을 사용하여 모멘트 매칭을 수행할 수 있는가?
• RQ3 모든 데이터와 일치하는 시스템이 주어진 보간 점에서 동일한 모멘트를 공유하기 위한 조건은 무엇인가?
• RQ4 데이터 기반 모멘트 매칭 프레임워크에서 극을 사전에 지정함으로써 안정적인 감소 차수 모델을 구성할 수 있는가?
• RQ5 정보성 프레임워크는 모멘트 계산을 위한 데이터 요구량 측면에서 전통적 시스템 식별 기법과 비교하여 어떻게 다른가?

주요 결과

• 논문은 시스템 식별 없이도 주어진 복소수 보간 점에서 모멘트를 계산하기 위한 필요 및 충분 조건을 제시한다. 이 조건은 데이터의 헨켈 행렬의 질량에 기반한다.
• 이 조건들은 시스템 식별에 요구되는 조건보다 더 약한 조건을 제공하여, 전체 시스템 식별에 부적합한 데이터에 대해서도 모멘트 계산이 가능하게 한다.
• 계산된 모멘트를 사용하여 유리 함수 보간 문제를 해결함으로써 주어진 점에서 원래 시스템의 모멘트와 일치하는 감소 차수 모델을 구성한다.
• 원하는 극을 지정함으로써 안정적인 감소 차수 모델을 구성할 수 있으며, 이는 모델 차수 r이 r ≥ k* − 1를 만족할 경우에 가능하다. 여기서 k*는 모든 보간 점에 대해 (ki + 1)의 합이다.
• 이 조건을 만족할 경우, 분자 다항식의 해 공간이 항상 비어 있지 않기 때문에, 어떤 안정된 극 구성도 타당성이 보장된다.
• 전기 회로 예제를 통해 방법의 효과성을 입증하였으며, 보드 플롯을 통해 정확한 모멘트 매칭과 안정적인 감소 차수 모델 성능을 확인하였다.