[논문 리뷰] From Duels to Battefields: Computing Equilibria of Blotto and Other Games

AmirMahdi Ahmadinejad, Sina Dehghani외 4명|arXiv (Cornell University)|2016. 03. 01.

Game Theory and Applications참고 문헌 45인용 수 12

한 줄 요약

이 논문은 전략 공간이 지수적으로 큰 제로섬 게임, 예를 들어 코로넬 블로토 게임과 일반 러닝게임에서 나시 균형을 찾는 일반적인 계산 프레임워크를 제시한다. 이중선형 게임의 전략 다면체 위에서 분리 오ракulum 문제를 해결하는 것으로 균형 계산을 축소함으로써, 이전에는 해결이 불가능했던 여러 게임에 대해 처음으로 다항시간 알고리즘을 달성하였다. 이는 이전 방법으로는 실패하는 새로운 매칭 듀얼 게임을 포함한다.

ABSTRACT

We study the problem of computing Nash equilibria of zero-sum games. Many natural zero-sum games have exponentially many strategies, but highly structured payoffs. For example, in the well-studied Colonel Blotto game (introduced by Borel in 1921), players must divide a pool of troops among a set of battlefields with the goal of winning (i.e., having more troops in) a majority. The Colonel Blotto game is commonly used for analyzing a wide range of applications from the U.S presidential election, to innovative technology competitions, to advertisement, to sports. However, because of the size of the strategy space, standard methods for computing equilibria of zero-sum games fail to be computationally feasible. Indeed, despite its importance, only a few solutions for special variants of the problem are known. In this paper we show how to compute equilibria of Colonel Blotto games. Moreover, our approach takes the form of a general reduction: to find a Nash equilibrium of a zero-sum game, it suffices to design a separation oracle for the strategy polytope of any bilinear game that is payoff-equivalent. We then apply this technique to obtain the first polytime algorithms for a variety of games. In addition to Colonel Blotto, we also show how to compute equilibria in an infinite-strategy variant called the General Lotto game; this involves showing how to prune the strategy space to a finite subset before applying our reduction. We also consider the class of dueling games, first introduced by Immorlica et al. (2011). We show that our approach provably extends the class of dueling games for which equilibria can be computed: we introduce a new dueling game, the matching duel, on which prior methods fail to be computationally feasible but upon which our reduction can be applied.

연구 동기 및 목표

• 전략 공간이 지수적으로 큰 제로섬 게임, 예를 들어 코로넬 블로토 게임에서 나시 균형을 찾는 계산의 비가능성을 해결하기 위해.
• 균형 계산을 이중선형 게임의 전략 다면체 위에서 분리 오라클 문제로 축소하는 일반적인 방법을 개발하기 위해.
• 복잡하거나 무한 전략 공간을 가진 게임을 포함하여 균형을 효율적으로 계산할 수 있는 듀얼 게임의 범위를 확장하기 위해.
• 이전 방법으로는 실패한 일반 러닝게임과 새로운 매칭 듀얼 게임에 대해 처음으로 다항시간 알고리즘을 제공하기 위해.

제안 방법

• 저자는 일반적인 감소를 도입한다: 제로섬 게임에서 나시 균형을 계산하는 것은 수익이 동일한 이중선형 게임의 전략 다면체에 대해 분리 오라클을 설계하는 것으로 축소된다.
• 그들은 오차 허용 범위 ϵ을 가진 근사 분리 오라클을 사용하여 선형계획법(LP) 근사치를 해결하기 위해 타원체법을 적용한다.
• 일반 러닝게임의 경우, 먼저 무한 전략 공간을 유한하고 계산에 적합한 부분집합으로 줄인 후 감소를 적용한다.
• 이 방법은 만약 분리 오라클이 시간 f(ϵ,n) 내에 해결될 수 있다면, ϵ-근사 균형이 O(poly(n)·f(ϵ/β,n)) 시간 내에 계산될 수 있다는 사실에 기반한다. 여기서 β는 절댓값 수익의 합이다.
• 그들은 ϵ-해결책이 선형계획법에 대해 최소 수익과 최대 최소 수익 간의 차이가 최대 ϵ 이내인 전략을 제공함으로써 근사 균형의 품질을 보장함을 증명한다.
• 이 접근법은 코로넬 블로토 게임, 일반 러닝게임, 그리고 새로운 매칭 듀얼 게임에 적용되어 광범위한 적용 가능성을 보여준다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 전략 공간이 지수적으로 큰 제로섬 게임, 예를 들어 코로넬 블로토 게임에서 일반적이고 효율적인 방법으로 나시 균형을 계산할 수 있는가?
• RQ2 균형 계산을 이중선형 게임의 전략 다면체 위에서 분리 오라클 문제로 변환하는 감소가 존재하는가?
• RQ3 이 프레임워크는 무한 전략 공간을 가진 게임, 예를 들어 일반 러닝게임에 적용될 수 있는가? 만약 가능하다면 전략 공간은 어떻게 효과적으로 줄일 수 있는가?
• RQ4 이 방법은 이전 알고리즘이 실패하는 새로운 종류의 듀얼 게임, 예를 들어 매칭 듀얼 게임으로까지 확장될 수 있는가?
• RQ5 이 접근법을 사용하여 ϵ-근사 균형을 달성하는 데 필요한 계산 복잡도는 무엇인가?

주요 결과

• 논문은 전략 공간의 크기가 지수적으로 큰 코로넬 블로토 게임에서 균형을 계산하는 데 있어 처음으로 다항시간 알고리즘을 제시한다. 이는 전략 공간의 크기로 인한 계산의 비가능성을 극복한다.
• 일반 러닝게임의 경우, 먼저 무한 전략 공간을 유한한 부분집합으로 줄인 후 분리 오라클 프레임워크를 적용함으로써 처음으로 다항시간 알고리즘을 달성하였다.
• 이 방법은 이전 계산 기법으로는 불가능했던 새로운 듀얼 게임인 매칭 듀얼 게임에서 균형을 성공적으로 계산하였다.
• 프레임워크는 ϵ-근사 해가 선형계획법에 대해 최소 수익과 최대 최소 수익 간의 차이가 최대 ϵ 이내인 전략을 제공함으로써 근사 균형의 품질을 보장한다.
• 알고리즘의 실행 시간은 f가 ϵ-분리 오라클을 해결하는 데 걸리는 시간이라면 O(poly(n)·f(ϵ/β,n))이다. 이는 오라클이 효율적일 경우 다항시간 보장을 제공한다.
• 이 방법은 특정 게임을 넘어서 일반화되어 있으며, 구조화된 수익을 가진 광범위한 제로섬 게임의 균형을 계산하는 통합적인 방법을 제공한다.