[논문 리뷰] From Lie groupoids to resolutions of singularities. Applications to symplectic and Poisson resolutions

Camille Laurent-Gengoux|ArXiv.org|2006. 10. 09.

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology인용 수 5

한 줄 요약

이 논문은 심플렉틱 리 군oids를 사용하여 파울슨 다양체의 심플렉틱 잎의 폐포에 대한 심플렉틱 해소를 구축하기 위한 미분기하학적 방법을 제안한다. 군oids의 코이시트로픽 부분다양체에 대해 심플렉틱 축소를 적용함으로써, 다양체의 특이점과 파울슨 구조의 특이점을 모두 해소하는 심플렉틱 해소를 생성한다. 이는 스프링거 및 클라인의 특이점의 최소 해소와 같은 구조를 일반화한다.

ABSTRACT

We use the techniques of integration of Poisson manifolds into symplectic Lie groupoids to build symplectic resolutions (= desingularizations) of the closure of a symplectic leaf. More generally, we show how Lie groupoids can be used to lift singularities, in particular when one imposes a compatibility condition with an additional structure given by a multi-vector field.

연구 동기 및 목표

• 심플렉틱 리 군oids를 사용하여 특이 파울슨 구조와 특이 대수적 다양체의 비특이화를 통합한다.
• 알제브라적 기하학을 피하면서 빌레의 대수적 해소의 핵심 특성을 유지하는 심플렉틱 해소의 미분기하학적 프레임워크를 개발한다.
• 다중벡터장, 특히 파울슨 및 접촉 구조를 포함한 해소와의 호환성을 고려한 절차를 일반화한다.
• 심플렉틱 군oids 통합으로 유래하는 어떤 심플렉틱 해소가 존재하는지, 특히 파울슨 다양체의 심플렉틱 잎에 대해 특성화한다.
• 클라인의 특이점과 노르말화 궤도와 같은 고전적 예제에 대해 명시적 구축을 제공하며, 이들이 심플렉틱 군oids 축소와 호환됨을 보여준다.

제안 방법

• 파울슨 다양체를 통합하는 소스-단순연결 심플렉틱 리 군oids를 사용하여 심플렉틱 잎 폐포의 기하학을 올리기.
• 심플렉틱 잎 $\mathcal{S}$의 폐포 내부에 존재하는 라그랑주 부분다양체 $L_k$를 식별하고, 이가 $\mathcal{S}$와 횡단으로 만난다.
• 군oids $\Gamma \rightrightarrows M$ 내에서 $\Gamma_L = s^{-1}(L)$의 전이상을 구성하며, 이는 심플렉틱 군oids 내에서 코이시트로픽이다.
• 군oids의 작용을 사용하여 $\Gamma_L$에 대해 심플렉틱 축소를 적용함으로써 심플렉틱 다양체 $\Sigma$를 얻는다.
• $\Gamma$의 타겟 사상 $t: \Gamma \to M$이 $\Sigma$로 내림내림되어 파울슨 사상 $\phi: \Sigma \to \overline{\mathcal{S}}$를 만들며, 이로써 $\Sigma$는 $\overline{\mathcal{S}}$의 심플렉틱 해소가 된다.
• 군oids 작용을 사용하여 열린 부분다양체 $U_k \subset \Sigma$를 $\tilde{L}_k \setminus \{O_k\}$ 및 $\{O_k\}$의 궤도로 묘사하고, 코 tangent bundle 내 경로에 대한 미분방정식을 통해 해소의 구조를 특성화한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 심플렉틱 리 군oids를 사용하여 파울슨 다양체의 심플렉틱 잎 폐포에 대한 심플렉틱 해소를 구성할 수 있는가?
• RQ2 심플렉틱 군oids 내의 코이시트로픽 부분다양체의 심플렉틱 축소가 파울슨 구조와 호환되는 심플렉틱 해소를 유도하기 위한 조건은 무엇인가?
• RQ3 이 방법은 어떻게 미분기하학 내에서 특이 대수적 다양체와 특이 파울슨 구조의 해소를 통합하는가?
• RQ4 어떤 고전적 해소(예: 스프링거, 클라인의 특이점의 최소 해소)가 이 군oids 기반의 구성에서 유래하는가?
• RQ5 왜 이 방법은 $A_l$-형 특이점과 유사한 $D_l$, $E_6$, $E_7$, $E_8$ 특이점에서는 실패하는가?

주요 결과

• 심플렉틱 군oids가 통합하는 해당 파울슨 구조의 심플렉틱 축소를 통해 $\mathbb{C}^2 / (\mathbb{Z}/l\mathbb{Z})$의 최소 해소가 심플렉틱 해소로 유도된다.
• 해소 $\phi: \Sigma \to W_l$는 올바르고 심플렉틱하며, $\Sigma$는 $W_l$의 $l-1$개의 유리곡선 $C_1, \dots, C_{l-1}$에 沿해의 블로우업과 미분형태로 동일시된다. 각각은 $\mathbb{P}^1(\mathbb{C})$와 동일시된다.
• 원점의 역상은 $l-1$개의 유리곡선 $C_1, \dots, C_{l-1}$로 이루어지며, 이들은 사슬 형태로 횡단으로 만난다: $C_k \cap C_{k+1} = \{p_k\}$이며, $|i-j| \geq 2$일 경우 $C_i \cap C_j = \emptyset$이다.
• 각 $k = 1, \dots, l-1$에 대해, 라그랑주 교차의 엄밀한 전이 $\tilde{L}_k$는 $C_k$와 하나의 점에서 횡단으로 만난다. 다른 모든 $C_i$ ($i \neq k$)와는 서로소이다.
• 해소 사상 $\phi$의 미분은 정확히 $p_1, \dots, p_{l-2}$의 교차점에서만 0이 되며, $C_k \setminus \{p_k, p_{k+1}\}$ 위의 점들에서 그의 핵은 탄젠트 공간 $T_y C_k$와 같다.
• 해소의 $k$-번째 라그랑주 교차에 해당하는 열린 부분다양체 $U_k \subset \Sigma$는 $U_k = \phi^{-1}(\mathcal{S}) \cup \Gamma \cdot \{O_k\}$로 주어지며, $T_O^*M$ 내의 코벡터 경로 $a(t)$에 대해 미분방정식 $\frac{d\sigma}{dt} = (\pi_\Sigma^\#)_{\sigma(t)}(a(t) \circ d_{\sigma(t)}\phi)$를 만족하는 매끄러운 경로 $\sigma(t)$의 존재성으로 특성화된다.