[논문 리뷰] From limits of quantum nonlinear operations to multicopy entanglement witnesses and state spectrum estimation

Paweł Horodecki|ArXiv.org|2001. 11. 06.

Statistical Mechanics and Entropy인용 수 7

한 줄 요약

이 논문은 양자역학의 선형성으로 인해 알려지지 않은 양자 상태 ϱ의 n개 복제본을 그의 n제곱 ϱⁿ으로 변환하는 것은 본질적으로 불가능하다고 규명한다. 그러나 이는 두 개의 복제본에 대한 동시 측정을 통해 '다중복제 관측량'을 이용해 비선형 함수인 Tr(ϱ²) 및 고차원 탈러스 엔트로피를 측정할 수 있음을 보여주며, 이는 자원을 최소화한 엔트로피 검출 및 스펙트럼 추정에 실용적인 길을 열어준다.

ABSTRACT

Limits of nonlinear in quantum mechanics are studied. Impossibility of physical implementation of the transformation $\varrho^{\otimes n} o \varrho^{n}$ in quantum mechanics is proved. For sake of further analysis the simplest notion of structural completely positive approximation (SCPA) and structural physical approximations (SPA) of unphysical map are introduced. Both always exist for linear hermitian maps and can be optimised under natural assumptions. However it is shown that some intuitively natural SPA of the nonlinear operation $\varrho^{\otimes 2} o \varrho^{2}$ that was already proven to be unphysical is impossible. It is conjectured that there exist no SPA of the operation $\varrho^{\otimes n} o \varrho^{n}$ at all. It is pointed out that, on the other hand, it is physically possible to measure the trace of the second power of the state $Tr(\varrho^{2})$ if only two copies of the system are available. This gives the interpretation of one of Tsallis entropy as mean value of some ``multicopy'' observable. The (partial) generalisation of this idea shows that each of higher order Tsallis entropies can be measured with help of only two multicopy observables. Following this observations the notion of multicopy entanglement witnesses is defined and first example is provided. Finally, with help of multicopy observables simple method of spectrum state estimation is pointed out and discussed.

연구 동기 및 목표

• 비선형 양자 연산의 기본 한계를 조사하며, 특히 알려지지 않은 상태 ϱ의 n개 복제본을 그의 n제곱으로 변환하는 것에 초점을 맞춘다.
• 특히 구조적 물리적 근사(Structural Physical Approximation, SPA)와 같은 물리적으로 실현 가능한 근사가 이러한 비물리적 사상도를 실현할 수 있는지 탐구한다.
• 다중 복제본에 대한 동시 측정을 통해 Tr(ϱⁿ) 및 탈러스 엔트로피와 같은 양자 상태의 비선형 함수를 측정할 수 있는 실용적인 방법을 개발한다.
• 엔트랑글레멘트 검출 및 양자 상태 스펙트럼 추정에 유용한 '다중복제 관측량'의 도입과 실증을 제안한다.
• 소수의 복제본만으로도 엔트로피 불등식 기반의 분리 가능성 조건을 테스트할 수 있는 프레임워크를 제공한다.

제안 방법

• 비물리적 사상도를 물리적으로 실현 가능한 근사로 변환하기 위해 구조적 완전 양성 근사(Structural Completely Positive Approximation, SCPA)와 구조적 물리적 근사(Structural Physical Approximation, SPA)를 도입하며, 일반화된 블로흐 벡터의 방향을 유지한다.
• 선형 에르미트 사상도에 대해 SCPA와 SPA가 항상 존재하며, 수축 인자 γ에 대한 연속성 가정 하에 최적화 가능함을 증명한다.
• 비선형 사상도 ϱ⊗² → ϱ²의 추적 보존 성질을 갖는 SPA는 존재하지 않으며, 일반적으로 n ≥ 2에 대해 ϱ⊗ⁿ → ϱⁿ에 대해 그러한 SPA가 존재하지 않을 것이라는 추측을 제기한다.
• 다중 복제본의 시스템에 작용하는 에르미트 연산자인 '다중복제 관측량'을 제안하며, 그 기대값이 Tr(ϱ²)와 같은 측정 가능한 비선형 함수를 제공함을 보여준다.
• 일반화된 스위프 연산자를 사용해 두 복제본에 대한 동시 측정을 실현함으로써 Tr(ϱ²)를 추출하고, 이는 탈러스 엔트로피 S₂의 물리적 측정을 가능하게 한다.
• 다중복제 관측량 프레임워크를 활용해 최대 dim(H)개의 복제본에 대한 집합 측정에서 2dim(H)−3개의 매개변수만으로도 알려지지 않은 양자 상태의 스펙트럼을 추정하는 방법을 제안하며, 전체 톰로그래피에 비해 자원 비용을 크게 절감한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 알려지지 않은 상태 ϱ에 대해 n개의 복제본을 사용하여 비선형 양자 연산 ϱ⊗ⁿ → ϱⁿ을 물리적으로 실현할 수 있는가?
• RQ2 사상도 ϱ⊗² → ϱ²에 대해 추적 보존 성질을 갖는 구조적 물리적 근사(Trace-preserving SPA)가 존재하는가? 존재하지 않는다면 그 이유는 무엇인가?
• RQ3 Tr(ϱⁿ)와 같은 양자 상태의 비선형 함수를 동시 측정을 통해 유한한 수의 복제본으로 측정할 수 있는가?
• RQ4 다중복제 관측량을 사용해 엔트로피 기반 분리 가능성 기준을 통해 엔트랑글레멘트를 검출할 수 있으며, 이를 위해 몇 개의 복제본이 필요한가?
• RQ5 소수의 복제본에 대한 집합 측정을 통해 알려지지 않은 양자 상태의 스펙트럼을 추정할 수 있는가? 이는 전체 양자 상태 톰로그래피와 비교해 어떻게 다를까?

주요 결과

• 알려지지 않은 상태 ϱ에 대해 ϱ⊗ⁿ → ϱⁿ의 변환은 양자역학의 선형성으로 인해 본질적으로 불가능하며, 근사적으로도 불가능하다.
• 사상도 ϱ⊗² → ϱ²의 가장 자연스러운 추적 보존 성질을 갖는 SPA는 존재하지 않으며, 일반적으로 n ≥ 2에 대해 ϱ⊗ⁿ → ϱⁿ에 대해 그러한 SPA가 존재하지 않을 것이라는 추측이 제기된다.
• Tr(ϱ²)는 일반화된 스위프 연산자를 통해 두 복제본에 대한 동시 측정을 통해 측정할 수 있다.
• 탈러스 엔트로피 S₂는 두 복제본 관측량의 기대값으로 물리적으로 해석될 수 있으며, 직접적인 운영적 의미를 부여한다.
• q > 2인 고차원 탈러스 엔트로피 S_q는 단 두 개의 다중복제 관측량만으로 추정 가능하여, 엔트로피 기반 분리 가능성 기준의 효율적 검증이 가능하다.
• 알려지지 않은 상태의 스펙트럼을 추정하는 방법을 제안하며, 최대 dim(H)개의 복제본에 대한 집합 측정에서 2dim(H)−3개의 매개변수만으로도 충분하며, 전체 톰로그래피에 비해 자원 비용을 크게 절감한다.