[논문 리뷰] From Loop Groups to 2-Groups

John C. Baez, Alissa S. Crans외 2명|arXiv (Cornell University)|2005. 04. 07.

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology참고 문헌 12인용 수 21

한 줄 요약

이 논문은 단순 연결된 컴actsimple Lie 군 $G$와 수준 $k\in\mathbb{Z}$에 대해 관련된 Lie 2대수 $\frak{g}_k$와 동치인 무한차원 Fréchet Lie 2대수를 갖는 무한차원 Lie 2대수 $\tilde{\rm P}_kG$를 구성한다. 주요 결과는 $k\neq 0$일 때 $\frak{g}_k$가 유한차원 Lie 2대수로 통합되지 않지만, 기저 경로와 루프 군 $\Omega G$의 수준-$k$ Kac–Moody 중심 확장으로 구성된 무한차원 Lie 2대수 $\tilde{\rm P}_kG$로는 통합될 수 있다는 것이다. 이는 $G={\rm Spin}(n)$이고 $k=\pm1$일 때 기하적 실현이 ${\rm String}(n)$인 스탠딩 그룹이 된다. 이는 고차 호모토피 이론에서 오랫동안 존재하던 장벽을 해결하며, 고차 카테고리적 구조를 통해 스탠딩 그룹의 기하 모델을 제공한다.

ABSTRACT

We describe an interesting relation between Lie 2-algebras, the Kac-Moody central extensions of loop groups, and the group $\mathrm{String}(n)$. A Lie 2-algebra is a categorified version of a Lie algebra where the Jacobi identity holds up to a natural isomorphism called the "Jacobiator". Similarly, a Lie 2-group is a categorified version of a Lie group. If $G$ is a simply-connected compact simple Lie group, there is a 1-parameter family of Lie 2-algebras $\mathfrak{g}_k$ each having $\mathrm{Lie}(G)$ as its Lie algebra of objects, but with a Jacobiator built from the canonical 3-form on $G$. There appears to be no Lie 2-group having $\mathfrak{g}_k$ as its Lie 2-algebra, except when $k = 0$. Here, however, we construct for integral k an infinite-dimensional Lie 2-group whose Lie 2-algebra is equivalent to $\mathfrak{g}_k$. The objects of this 2-group are based paths in $G$, while the automorphisms of any object form the level-$k$ Kac-Moody central extension of the loop group of $G$. This 2-group is closely related to the $k$th power of the canonical gerbe over $G$. Its nerve gives a topological group that is an extension of $G$ by $K(\mathbb{Z},2)$. When $k = \pm 1$, this topological group can also be obtained by killing the third homotopy group of $G$. Thus, when $G = \mathrm{Spin}(n)$, it is none other than $\mathrm{String}(n)$.

연구 동기 및 목표

• 수준 $k \neq 0$일 때 $\frak{g}_k$가 유한차원 Lie 2대수로 통합되지 않는 장벽을 해결하기 위해.
• 특히 Lie 2대수를 사용하여 스탠딩 그룹 ${\rm String}(n)$의 기하 모델을 구축하기 위해.
• 루프 군 $\Omega G$의 수준-$k$ Kac–Moody 중심 확장과 Lie 2대수의 자동사상 간 정확한 대응을 설정하기 위해.
• G = {\rm Spin}(n)$이고 $k = \pm1$일 때, 구성된 Lie 2대수 $\tilde{\rm P}_kG$의 기하적 실현이 호모토피 동치로 ${\rm String}(n)$이 되는 것을 보여주기 위해.
• $\pi_3(G)$를 제거하여 얻는 위상군 $\hat{G}$의 새로운 기하 실현을, 경로 공간과 중심 확장으로 구성된 Lie 2대수 구조를 통해 제공하기 위해.

제안 방법

• 기저 루프를 객체로, 고정된 객체 위의 사상은 루프 군 $\Omega G$의 수준-$k$ Kac–Moody 중심 확장의 원소인 Lie 2대수 $\tilde{\rm P}_kG$를 구성한다.
• 수준-$k$ Kac–Moody 중심 확장의 군 곱셈을 사용하여 사상의 병합을 정의하며, 이는 Kac–Moody 코chains $k\omega$를 포함한다.
• 기저 경로(기저 경로)의 집합과 기저 루프에 중심 확장을 가한 사상의 집합에 Fréchet 다양체의 구조를 부여하여 무한차원 설정에서의 미분 가능성 보장.
• Lie 2대수 $\tilde{\rm P}_kG$에서 위상군 $|\tilde{\rm P}_kG|$로의 네트워크 구성법을 사용하며, 이는 $G$에 의해 $K(\mathbb{Z},2)$로 확장된 것으로 나타난다.
• G = {\rm Spin}(n)$이고 $k = \pm1$일 때, 기하적 실현 $|\tilde{\rm P}_kG|$가 ${\rm String}(n)$과 호모토피 동치임을 보여주며, 이는 $\pi_3$를 제거한 루프 군의 기본 덮개이다.
• 자연스러운 동형사슬을 통한 $\frak{g}_k$와 $\tilde{\frak{P}}_k\frak{g}$의 Lie 2대수 간 동치성을 확립하며, $\frak{g}_k$의 자코비에이터가 $G$ 위의 표준적 left-invariant 3형식 $\nu$에서 유래됨을 보여준다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 단순 연결된 컴actsimple Lie 군 $G$의 표준 3형식에서 유래된 Lie 2대수 $\frak{g}_k$가 정수 $k$에 대해 Lie 2대수로 통합될 수 있는가?
• RQ2 표준적인 $\frak{g}_k$에서 2대수를 구성하는 방법이 $k \neq 0$일 때 부드러운 Lie 2대수를 유도하지 못하는 이유는 무엇이며, 이러한 장벽은 어떻게 극복할 수 있는가?
• RQ3 Lie 2대수 $\tilde{\rm P}_kG$의 기하적 실현은 무엇이며, 스탠딩 그룹 ${\rm String}(n)$과의 관계는 어떠한가?
• RQ4 수준-$k$ Kac–Moody 중심 확장이 $\tilde{\rm P}_kG$의 객체의 자동사상군에 어떻게 표현되는가?
• RQ5 구조 2대수가 $\tilde{\rm P}_kG$인 2-bundle이 다양체 위의 스탠딩 구조를 위한 기하 모델이 될 수 있으며, 이는 특성류 $p_1/2$와 어떻게 관련되는가?

주요 결과

• 모든 정수 $k$에 대해 무한차원 Fréchet Lie 2대수 $\tilde{\rm P}_kG$가 존재하며, 이는 $k \neq 0$일 때의 통합 장벽을 해결한다.
• 기하적 실현 $|\tilde{\rm P}_kG|$는 $G$에 의해 $K(\mathbb{Z},2)$로 확장된 위상군이며, Dixmier–Douady 특성류 $k[\nu/2\pi] \in H^3(G, \mathbb{Z})$를 갖는다.
• G = {\rm Spin}(n)$이고 $k = \pm1$일 때, 기하적 실현 $|\tilde{\rm P}_kG|$는 ${\rm String}(n)$과 호모토피 동치이며, 이는 새로운 기하 모델을 제공한다.
• Lie 2대수 $\tilde{\frak{P}}_k\frak{g}$는 $\frak{g}_k$와 동치이며, 자코비에이터 동형사상은 $k\nu$로 주어지며, 여기서 $\nu$는 $G$ 위의 표준적 left-invariant 3형식이다.
• 모든 객체의 자동사상군은 수준-$k$ Kac–Moody 중심 확장된 $\Omega G$와 동형이며, 이는 구성의 핵심 요소이다.
• 이 구성은 구조 2대수가 $\tilde{\rm P}_kG$인 2-bundle 모델을 제공하며, 이는 주로 ${\rm String}(n)$-bundle의 대체로 사용될 수 있다. 이 2-bundle로의 $G$-bundle의 끼워넣기 장벽은 $H^4(M; \mathbb{Z})$에 있으며, 이는 $p_1/2$로 주어진다.