[논문 리뷰] From manifolds to invariants of E_n-algebras

Ricardo Andrade|arXiv (Cornell University)|2012. 10. 30.

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology참고 문헌 26인용 수 24

한 줄 요약

이 논문은 $E_n$-대수에 대한 새로운 불변량 클래스를 제안하며, $G$-보조된 임bedding 공간을 이용해 위상수학적 Hochschild 호모로지(THH)를 일반화한다. 이를 통해 PROPs $\mathsf{E}^G_n$를 구성하고, 유도된 코엔드 불변량 $\mathbf{T}^G(A;M) = \mathsf{E}^G_n[M] \mathop{\otimes}^\mathsf{L}_{\mathsf{E}^G_n} A$를 정의한다. 이는 $G=1$이고 $M=S^1$일 때 THH를 복원하며, 비아벨 Poincaré 대칭성의 다이어그램적이고 호모로지적 프레임워크를 구축한다.

ABSTRACT

This thesis represents the first step in an investigation of an interesting class of manifold-theoretic invariants of $E_n$-algebras which generalize topological Hochschild homology. The main goal of this thesis is to give a definition of the invariants, and analyse their geometric framework. These invariants have appeared in the work of Paolo Salvatore and Jacob Lurie (who calls them topological chiral homology), where they are involved in a sort of non-abelian Poincaré duality.

연구 동기 및 목표

• 회전 및 접선 대칭성을 유지하는 $E_n$-대수에 대한 자연스럽고 다이어그램적인 THH 일반화를 정의하기.
• 표준 순환 바 복합체의 THH에서 자연스러움의 결여를 해결하기. 이는 전체 $S^1$-행동을 포착하지 못한다.
• $E_n$-대수의 불변량을 다이나믹한 구성의 호모로지 쐐기로 구성하기.
• $G$-보조된 임베딩과 PROPs $\mathsf{E}^G_n$를 통해 임베딩 공간과 $E_n$-운반체의 기하학적·대수적 구조를 통합하기.
• Lurie와 Salvatore가 다룬 비아벨 Poincaré 대칭성과 호환되는 프레임워크를 구축하기.

제안 방법

• 공간 $X$ 위의 스틱키 구성의 범주 $\mathbb{M}(X)$를 도입하여, THH에서 사용된 순환 범주 $\mathcal{E}$를 일반화한다.
• 접선 $G$-구조를 포함하는 다변수의 수정된 표준 임베딩 공간으로서 $G$-보조된 임베딩 공간을 정의한다.
• 이러한 $G$-보조된 임베딩 공간으로부터 $G$-보조된 작은 $n$-디스크 프롭을 일반화한 PROPs $\mathsf{E}^G_n$를 구성한다.
• 각 $n$-다양체 $M$에 대해 $G$-보조된 임베딩의 공간을 통해 오른쪽 $\mathsf{E}^G_n$-모듈 $\mathsf{E}^G_n[M]$을 할당한다.
• $\mathbb{M}(M)$과 $\mathsf{E}^G_n[M]$의 그로텐디크 구성을 연결하는 약한 동치의 지그재그를 수립하여, 구성 범주와 모듈 구조 간의 깊은 연결을 확립한다.
• $E_n$-대수 $A$에 대해 불변량 $\mathbf{T}^G(A;M)$을 유도된 코엔드 $\mathsf{E}^G_n[M] \mathop{\otimes}^\mathsf{L}_{\mathsf{E}^G_n} A$로 정의한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 원의 전체 대칭성을 유지하는 다이어그램적이고 호모로지적 프레임워크를 통해 $E_n$-대수에 대한 위상수학적 Hochschild 호모로지가 자연스럽게 일반화될 수 있는가?
• RQ2 다양체에 대한 접선 구조를 가진 임베딩의 기하학적 자료가 $E_n$-대수의 대수적 불변량으로 어떻게 표현될 수 있는가?
• RQ3 작은 디스크 구성의 일반화로서, $G$-구조를 가진 다양체에 대해 $\mathsf{E}^G_n$의 오른쪽 모듈을 자연스럽게 연결할 수 있는 방법이 존재하는가?
• RQ4 다양체 $M$ 위의 스틱키 구성의 범주 $\mathbb{M}(M)$이 $\mathsf{E}^G_n[M]$의 임베딩 모듈의 그로텐디크 구성과 일치하는가?
• RQ5 유도된 코엔드 구성 $\mathbf{T}^G(A;M)$이 알려진 불변량인 THH를 복원하고, 비아벨 Poincaré 대칭성의 보편적 프레임워크를 제공하는가?

주요 결과

• 모든 $G=1$ 및 $M=S^1$일 때 불변량 $\mathbf{T}^1(A;S^1)$는 결합 대수적 스펙트럼 $A$의 위상수학적 Hochschild 호모로지와 동치이며, 더 자연스럽고 대칭적인 방식으로 표준 구성을 복원한다.
• $\mathbb{M}(S^1)$은 엘멘도르프의 범주 $\mathcal{E}$와 약한 동치이며, THH는 $\mathcal{E}$를 따라 호모로지 쐐기로 표현되며, 이는 다이어그램적 해석을 제공한다.
• 임의의 $n$-다양체 $M$에 대해 $G$-구조가 있는 경우, 오른쪽 $\mathsf{E}^G_n$-모듈 $\mathsf{E}^G_n[M]$은 $G$-보조된 임베딩 공간에서 유도되며, 작은 $n$-디스크 구성의 일반화이다.
• $\mathbb{M}(M)$과 $\mathsf{E}^G_n[M]$의 그로텐디크 구성 사이에 약한 동치의 지그재그가 존재하여, 구성 범주와 모듈 구조 간의 깊은 연결을 확립한다.
• 유도된 코엔드 $\mathbf{T}^G(A;M) = \mathsf{E}^G_n[M] \mathop{\otimes}^\mathsf{L}_{\mathsf{E}^G_n} A$는 $E_n$-대수의 잘 정의된 불변량을 정의하며, 이는 THH를 일반화하고 비아벨 Poincaré 대칭성과 호환된다.