[논문 리뷰] From (Martingale) Schrodinger bridges to a new class of Stochastic Volatility Models

Pierre Henry‐Labordère|arXiv (Cornell University)|2019. 04. 09.

Stochastic processes and financial applications참고 문헌 3인용 수 3

한 줄 요약

이 논문은 마팅글 슈뢰딩거 브리지 접근법을 통해 변동성 과정의 드리프트를 수정함으로써 시장 바닐라 옵션, VIX 옵션, 실현 변동성 파생상품에 정확하게 일치하는 새로운 유형의 확률적 변동성 모델(SVM)을 제안한다. 국소-확률적 변동성 모델과 달리, 캘리브레이션 후에도 순시 변동성의 변동성은 그대로 유지되며, 효율적인 수치적 캘리브레이션을 위해 동적 싱크호른 알고리즘을 사용하여 디슨 비충돌 브라운 운동과 깊은 연관성을 드러낸다.

ABSTRACT

Following closely the construction of the Schrodinger bridge, we build a new class of Stochastic Volatility Models exactly calibrated to market instruments such as for example Vanillas, options on realized variance or VIX options. These models differ strongly from the well-known local stochastic volatility models, in particular the instantaneous volatility-of-volatility of the associated naked SVMs is not modified, once calibrated to market instruments. They can be interpreted as a martingale version of the Schrodinger bridge. The numerical calibration is performed using a dynamic-like version of the Sinkhorn algorithm. We finally highlight a striking relation with Dyson non-colliding Brownian motions.

연구 동기 및 목표

• 바닐라 옵션, VIX 옵션, 실현 변동성 옵션의 시장 가격을 정확히 재현하는 새로운 유형의 확률적 변동성 모델을 개발하는 것.
• 국소-확률적 변동성 모델에서 발생하는 왜곡을 피하기 위해 원래 모델의 순시 변동성의 변동성 구조를 유지하는 것.
• 캘리브레이션된 모델이 위험 중립 측도 하에서 진정한 마팅글이 되도록 보장하여 무위험 거래 기회를 방지하는 것.
• 동적 싱크호른 알고리즘의 변형을 사용한 수치적 캘리브레이션 방법을 제공하여 효율성을 확보하는 것.
• 결과 모델의 역학과 디슨 비충돌 브라운 운동 간의 이론적 연결 고리를 설정하는 것.

제안 방법

• 모델은 주식 가격가 마팅글이 되는 조건 하에서 상대 엔트로피를 최소화하는 마팅글 버전의 슈뢰딩거 브리지 문제를 통해 구성된다.
• 캘리브레이션은 변동성 과정의 시간 및 상태에 의존하는 드리프트 항을 도입하는 확률적 제어 문제를 해결함으로써 달성되며, 이는 원래의 변동성의 변동성 구조를 유지한다.
• 역 문제의 형태로 표현된 역학은 관련 계수와 변동성 함수를 포함하는 비선형 항이 있는 버거스 유사 PDE의 해를 통해 유도된다.
• 측도 변화의 라돈-니코디움 미분은 이중 제어 문제의 해를 포함하는 지수 마팅글 형태로 표현된다.
• 수치적 캘리브레이션을 위해 동적 싱크호른 알고리즘이 사용되며, 목표 근사 분포를 일치시키기 위해 반복적으로 드리프트를 조정한다.
• 실현 변동성에 대한 추가 제어 항을 도입함으로써 VIX 유사 제약 조건을 확장하여 VIX 옵션과의 일관성을 확보한다.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 순시 변동성의 변동성의 구조를 변경하지 않고 바닐라 옵션, VIX 옵션, 실현 변동성 옵션에 대해 정확하게 캘리브레이션된 확률적 변동성 모델을 구현할 수 있는가?
• RQ2 확률적 변동성 모델의 맥락에서 마팅글 조건을 강제하기 위해 슈뢰딩거 브리지 프레임워크를 어떻게 변형할 수 있는가?
• RQ3 변동성 과정에 상태에 의존하는 드리프트를 추가하는 것이 모델의 역학과 캘리브레이션 특성에 어떤 영향을 미치는가?
• RQ4 결과 모델의 역학이 디슨 비충돌 브라운 운동과 같은 알려진 확률적 과정과 연결될 수 있는가?
• RQ5 특히 고차원 또는 경로에 의존하는 파생상품에 대해 실용적으로 효율적으로 캘리브레이션을 수행할 수 있는가?

주요 결과

• 제안된 모델은 원래의 변동성의 변동성 구조를 변경하지 않고 오직 변동성 과정의 드리프트만 수정함으로써 바닐라 옵션, VIX 옵션, 실현 변동성 옵션에 정확하게 캘리브레이션된다.
• 캘리브레이션된 모델은 위험 중립 측도 하에서 진정한 마팅글이 유지되어 무위험 거래 기회가 없음을 보장하며, 이는 이전의 슈뢰딩거 브리지 접근법이 마팅글성을 유지하지 못했던 것과 대조된다.
• 동적 싱크호른 알고리즘을 사용한 수치적 캘리브레이션은 복잡한 파생상품 가격 결정에 대한 실용적 구현을 가능하게 한다.
• 이중 제어 문제의 해는 최적의 드리프트와 라돈-니코디움 미분을 결정하는 버거스 유사 PDE의 해를 유도한다.
• 결과 모델의 역학과 디슨 비충돌 브라운 운동 사이에 놀라운 유사성이 확인되어 더 깊은 수학적 구조가 존재함을 시사한다.
• 이 방법은 단일 통합된 확률적 변동성 모델 내에서 여러 시장 제약 조건(근사 분포 및 실현 변동성)을 일관되게 통합할 수 있는 프레임워크를 제공한다.