[논문 리뷰] From Matrix Models and quantum fields to Hurwitz space and the absolute Galois group

Robert de Mello Koch, Sanjaye Ramgoolam|arXiv (Cornell University)|2010. 02. 08.

advanced mathematical theories참고 문헌 75인용 수 58

한 줄 요약

이 논문은 히르미션 1행렬 모델의 상관함수와 순열 삼중체를 이용한 세 수의 계수 문제 사이의 직접적 대응을 수립하며, 세 개의 분지점을 가진 리만 곡면에서 리만 구면으로의 정칙 사상들을 분류한다. 리만의 존재 정리와 벨리의 정리를 활용하여 이러한 사상들이 대수적 수체 위에서 정의됨을 보이고, 절대 갈루아 군이 페인만 다이어그램 위에서 순열 삼중체를 통해 작용함을 보여, 행렬 모델과 그로텐디크의 데상 데르방스 사이의 연결고리를 제공하며, $ar{\mathbb{Q}}$ 위에서의 끈이론적 실현을 가능하게 한다. 주요 기여는 갈루아 불변 구조를 지닌 투르비츠 공간과 행렬 모델 상관함수 사이의 조합기하적 이중성이다.

ABSTRACT

We show that correlators of the hermitian one-Matrix model with a general potential can be mapped to the counting of certain triples of permutations and hence to counting of holomorphic maps from world-sheet to sphere target with three branch points on the target. This allows the use of old matrix model results to derive new explicit formulae for a class of Hurwitz numbers. Holomorphic maps with three branch points are related, by Belyi's theorem, to curves and maps defined over algebraic numbers $\bmQ$. This shows that the string theory dual of the one-matrix model at generic couplings has worldsheets defined over the algebraic numbers and a target space $ \mP^1 (\bmQ)$. The absolute Galois group $ Gal (\bmQ / \mQ) $ acts on the Feynman diagrams of the 1-matrix model, which are related to Grothendieck's Dessins d'Enfants. Correlators of multi-matrix models are mapped to the counting of triples of permutations subject to equivalences defined by subgroups of the permutation groups. This is related to colorings of the edges of the Grothendieck Dessins. The colored-edge Dessins are useful as a tool for describing some known invariants of the $ Gal (\bmQ / \mQ) $ action on Grothendieck Dessins and for defining new invariants.

연구 동기 및 목표

• 행렬 모델 상관함수와 순열 삼중체의 조합적 계수 사이의 정확한 사상 수립.
• 1행렬 모델에서 월드시트 위상수학이 벨리의 정리를 통해 $ olinebreak[4]\bar{\mathbb{Q}}$ 위에서 정의됨을 보이기.
• 절대 갈루아 군 $Gal(\bar{\mathbb{Q}}/\mathbb{Q})$ 가 행렬 모델의 페인만 다이어그램 위에 어떻게 작용하는지 보여주기.
• 색상이 있는 변을 가진 데상 데르방스와 부분군 불변량을 활용해 다중행렬 모델로 프레임워크 일반화하기.
• 색상이 있는 변을 가진 리본 그래프를 통해 갈루아 작용의 새로운 조합 기하 불변량 구축하기.

제안 방법

• 1행렬 모델의 상관함수를 순열 삼중체 $\sigma_0, \sigma_1, \sigma_\infty \in S_d$ 의 동치류로 매핑하기 위해 리만의 존재 정리 활용.
• 벨리의 정리를 적용하여 이러한 삼중체가 세 개의 분지점을 가진 리만 곡면에서 $\mathbb{P}^1$ 으로의 정칙 사상을 정의함을 보이며, 따라서 $\bar{\mathbb{Q}}$ 위에서 정의됨을 해석.
• 벨리 사상에서 $[0,1]$ 의 역상으로서 데상 데르방스를 표현하며, 0 과 1 의 역상에 각각 블랙 및 화이트 정점 배치.
• 윅의 정리를 사용하여 가우시안 및 왜곡된 행렬 모델의 상관함수를 수축의 합으로 계산하며, 이를 순열 삼중체로 매핑.
• 다중행렬 모델로 일반화하기 위해 데상 데르방스에 색상이 있는 변 도입; 색상은 서로 다른 행렬 유형을 나타내며 $S_{2n}$ 의 부분군에 대한 동치 관계 정의.
• 다중행렬 모델의 관측량과 그 갈루아 불변량을 묘사하기 위해 투르비츠 공간 위에 색상이 있는 데상 데르방스의 층 구축.

실험 결과

연구 질문

• RQ1 1행렬 모델의 상관함수는 어떻게 체계적으로 순열 삼중체와 정칙 사상으로 매핑될 수 있는가?
• RQ2 1행렬 모델의 끈이론 이중성에서의 대상 공간과 월드시트 기하학의 산술적 성격은 무엇인가?
• RQ3 절대 갈루아 군 $Gal(\bar{\mathbb{Q}}/\mathbb{Q})$ 는 어떻게 행렬 모델의 페인만 다이어그램 위에 작용하는가?
• RQ4 다중행렬 모델의 색상이 있는 변을 가진 데상 데르방스에서 갈루아 작용의 새로운 불변량을 어떻게 추출할 수 있는가?
• RQ5 다중트레이스 연산자는 다중행렬 모델에서 어떤 부분군 불변 순열 구조와 관련이 있는가?

주요 결과

• 일般적인 포텐셜을 가진 1행렬 모델의 상관함수는 리만의 존재 정리를 통해 $\sigma_0\sigma_1\sigma_\infty = 1$ 을 만족하는 순열 삼중체 $\sigma_0, \sigma_1, \sigma_\infty$ 의 동치류로 매핑된다.
• 일반적인 결합 상수에서 1행렬 모델의 끈이론 이중성은 벨리의 정리에 의해 월드시트가 $\bar{\mathbb{Q}}$ 위에서 정의되며, 대상 공간은 $\mathbb{P}^1(\bar{\mathbb{Q}})$ 이다.
• 절대 갈루아 군 $Gal(\bar{\mathbb{Q}}/\mathbb{Q})$ 는 순열 삼중체와 관련된 데상 데르방스 위에서의 작용을 통해 행렬 모델의 페인만 다이어그램 위에 작용한다.
• 색상이 있는 변을 가진 데상 데르방스는 그로텐디크의 데상 데르방스 위 갈루아 작용의 기존 및 신규 불변량을 묘사하는 새로운 조합 기하 프레임워크를 제공한다.
• 다중행렬 모델의 상관함수는 $S_{2n}$ 의 부분군에 의해 정의된 동치 관계를 만족하는 순열 삼중체로 매핑되며, 1행렬 모델의 경우를 일반화한다.
• 이 프레임워크는 상관함수의 행렬 모델 계산을 통해 특정 투르비츠 수의 명시적 공식을 도출한다.